Enunciado

Prove a equivalência das afirmações a e c do Teorema 7.1 . 1 .

Passo 1

Pois bem, já que queremos mostrar que são equivalentes as afirmações, então, nada mais justo do que escrevê-las aqui. Sendo assim, para uma matriz A de tamanho n × n temos

a A é ortogonal.

c Os vetores coluna de A formam um conjunto ortonormal de R n em relação ao produto interno euclidiano.

Passo 2

Já que queremos mostrar a equivalência devemos conseguir sair de uma afirmação e chegar na outra, sendo assim, consideremos que A é ortogonal isso implica que

A T A = I

A entrada na i-ésima linha e j-ésima coluna do produto A T A   é um produto, pontual, isto é, C i - ⋅ C j - , portanto vamos ter

A T A = C 1 - ⋅ C 1 - C 1 - ⋅ C 2 - … C n - ⋅ C 1 - C 2 - ⋅ C 1 - C 2 - ⋅ C 2 - … … … … … … C n - ⋅ C 1 - C n - ⋅ C n - … C n - ⋅ C n -

Agora se tivermos A T A = I teremos

C 1 - ⋅ C 1 - = 1 ,     C 2 - ⋅ C 1 - = 0   ,   … ,     C n - ⋅ C n - = 1

Generalizando o resultado acima teremos

C i - ⋅ C j - = 1   ,   s e   i = j  

C i - ⋅ C j - = 0 ,   s e   i ≠ j

Esse resultado é verdade apenas se C 1 - , C 2 - , … , C n - é um conjunto ortonormal em R n . Portanto, o conjunto só é ortonormal se A é uma matriz ortogonal.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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