Enunciado

Mostre que se A for uma matriz simétrica e ortogonal, então 1   e - 1 são seus únicos autovalores possíveis.

Passo 1

Primeiro, como temos que A é simétrico, A vai ser diagonalizável ortogonalmente então teremos

A = P D P T

Além disso, temos que como A é uma matriz ortogonal A T = A - 1 e A é simétrico, ou seja, nós teremos A = A - 1 . Dessa forma, vamos ter

I = A A - 1

I = A 2 = P D 2 P T

Isso significa que como temos D 2 = I   os únicos autovalores possíveis para nossa matriz A serão 1 e - 1 .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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