Enunciado

Prove: se T : V → W for uma transformação linear injetora, então T - 1 : I m T → V é uma transformação linear injetora.

Passo 1

Sabemos que dada a transformação T : V → W , podemos relacionar o núcleo e a imagem a partir da equação

n u l T + p o s T = n

Ou

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ V

Como enunciado garante que T é injetora, ele quer dizer que n u l T = 0 , logo dim ⁡ N u c T = 0

0 + dim ⁡ I m T = dim ⁡ V

dim ⁡ I m T = dim ⁡ V

Passo 2

Como T realiza uma transformação que pega os vetores do domínio V , e leva eles na imagem que pertence ao contradomínio W , a sua inversa T - 1 vai pegar os vetores da imagem em W e vai levar de volta no domínio V , isso quer dizer que a imagem da inversa vai ser o domínio V , isto é, I m T - 1 = V , portanto temos que o teorema do núcleo e imagem para T - 1

dim ⁡ N u c T - 1 + dim ⁡ I m T - 1 = dim ⁡ I m T

dim ⁡ N u c T - 1 + dim ⁡ V = dim ⁡ V

Logo

dim ⁡ N u c T - 1 = dim ⁡ V - dim ⁡ V

dim ⁡ N u c T - 1 = 0

Então n u l T - 1 = 0 , portanto T - 1 é injetora.

Resposta

Demonstração.

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