Enunciado

Prove: se uma matriz A não for quadrada, então ou os vetores linha ou os vetores coluna de A são linearmente dependentes.

Passo 1

Olá!! tudo bem? Vamos resolver esse problema supondo que A seja uma matriz m x n que não seja quadrada.

A possui mais linhas que colunas

( m > n )  

ou mais colunas que linhas

( n > m )

No primeiro caso, os vetores de linha " m " formariam um conjunto com mais vetores do que a dimensão do espaço n-dimensional R n , no qual esses vetores estão. Então eles formam um conjunto dependente.

No segundo caso, o mesmo raciocínio mostra que os vetores da coluna formariam um conjunto dependente.

Resposta

Se uma matriz A não for quadrada, os vetores de linha ou de coluna de A são linearmente dependentes.

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Encontre matrizes elementares E 1 , … , E k tais que A = E 1 … E k , para A =1 2 3 2 1 2 0 1 2 .
Seja A uma matriz diagonal, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero ( a i j = 0 para i ≠ j ) . Se a i i ≠ 0 , para i = 1 , … , n , mostre que A é invertível e a sua inversa e
Se A B = B A e p é um número inteiro positivo, mostre que A B p = A p B p .
Para matrizes quadradas A = a i j n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal(principal) de A , ou seja, t r A = ∑ i = 1 n a i i .(b) Mostre que t r α A = α t r A
Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativo. Mostre que: (b)Se A é uma matriz nxn e B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k em que