Enunciado

Prove as partes (a) e (c) do Teorema 3.2.3

Passo 1

Teorema 3.2.3 (a)

Seja o produto escalar entre o vetor vec v que pertence ao R^n e seja vec 0 o vetor nulo

vec 0 * vec v

Pela propriedade da Teorema 3.2.2(a) Simetria, podemos dizer que:

vec 0 * vec v = vec v * vec 0

Podemos expandir os dois vetores da seguinte forma:

vec v = (v_1 , v_2 , v_3 , ... , v_n)

vec 0 = ( 0 , 0 , 0 , ... 0 )

Vamos aplicar o produto escalar entre os dois vetores de acordo com a DEFINIÇÃO 4 da Seção 3.2 do livro:

vec 0 * vec v = (0 , 0 , 0 , ... 0) * (v_1 , v_2 , v_3 , ... , v_n) = 0 * v_1 + 0 * v_2 + 0 * v_3 + ... 0 * v_n = 0 + 0 + 0 + ... 0 *

Assim, provamos o teorema:

vec v * vec 0 = vec 0 * vec v = 0

Passo 2

Seja o produto de um escalar entre um vetor vec u e a subtração de vetores (vec v - vec w) , onde todos estes vetores pertencem ao R^n

vec u * ( vec v - vec w )

Aplicando a propriedade distributiva provamos o teorema:

vec u (vec v - vec w) = vec u * vec v - vec u * vec w

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam p 0 = ( x 0 ,y 0 ,z 0 ) e p = ( x ,y ,z ) . Descreva o conjunto de todos os pontos ( x ,y ,z ) para os quais ‖ p - p 0 ‖ = 1 .
Verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz. (a) u = 4 ,1 ,1 ,v = ( 1 ,2 ,3 ) (b) u = 1 ,2 ,1 ,2 ,3 ,v = ( 0 ,1 ,1 ,5 , - 2 ) (c) u = 1 ,3 ,5 ,2 ,0 ,1 ,v = ( 0 ,2 ,4 ,1 ,3 ,5 )
Enuncie um procedimento para encontrar um vetor de um comprimento especificado m que aponte na mesma direção e sentido de um vetor v dado.
Prove as partes (a) e (b) do Teorema 3.2.1.
Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo θ entre u e v . (a) u = 2 ,3 ,v = ( 5 ,- 7 ) (b) u = - 6 , -2 ,v = ( 4 ,0 ) (c) u = 1 , - 5 ,4 ,v = ( 3 ,3 ,3 ) (d) u = - 2 , 2 ,3 ,v = ( 1 ,7 ,- 4 )