Enunciado

A desigualdade triangular (Teorema 3.2.5a) é uma igualdade sob quais condições? Explique sua resposta geometricamente

Passo 1

Vamos desenhar dois vetores u → e v → que partem de uma mesma origem:

Pela “Regra do triângulo para a adição vetorial” podemos traçar um terceiro vetor que é igual à soma dos dois vetores iniciais.

Agora vamos olhar apenas para a soma vetorial:

v → + u → = v → + u →

Elevamos os dois lados ao quadrado:

v → + u → 2 = v → + u → 2

Dada a Equação (19) da seção 2 do capítulo 3, sabemos que: v → = v → ⋅ v → . Então vamos aplicar isso a um dos lados da equação

v → + u → 2 = v → + u → v → + u → 2

v → + u → 2 = v → + u → v → + u →

Aplicamos a propriedade distributiva:

v → + u → 2 = v → ⋅ v → + 2 u → ⋅ v → + u → ⋅ u →

v → + u → 2 = v → 2 + 2 u → ⋅ v → + u → 2

Pela propriedade do valor absoluto: u → ⋅ v → ≤ u → ⋅ v →

Já pela propriedade da Desigualdade de Cauchy-Schwarz: u → ⋅ v → ≤ v → ⋅ u →

Aplicando essas desigualdades na nossa prova, podemos dizer que:

v → + u → 2 ≤ v → 2 + 2 v → ⋅ u → + u → 2

Perceba que o lado direito é um produto notável. Então podemos organizá-lo:

v → + u → 2 ≤ v → + u → 2

Vamos efetuar a raiz quadrada de ambos os lados:

v → + u → ≤ v → + u →

E assim provamos que a soma de um de dois lados é maior ou igual ao terceiro lado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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