Enunciado

Prove que, quaisquer que sejam as bases E , F e G de V 3 ,

a) se E é discordante de F , então F é discordante de E ;

b) se E e F são concordantes e F e G são discordantes, então E e G são discordantes;

c) se E e F são discordantes e F e G são concordantes, então E e G são discordantes;

d) se E e F são discordantes e F e G são discordantes, então E e G são concordantes.

Passo 1

Vamos provar primeiro o item (a).

Sabemos que se E é discordante de F , vale det ⁡ M E F < 0 . Por outro lado, sabemos que

M F E = M E F - 1

Como

det ⁡ M - 1 = 1 det ⁡ M

o sinal do determinante da inversa é o mesmo que o determinante da matriz, de modo que

det ⁡ M E F < 0 ⇒ det ⁡ M F E < 0

Assim, como det ⁡ M F E < 0 , F é discordante de E .

Passo 2

Já no item (b), se E e F são concordantes e F e G são discordantes, temos que

det ⁡ M E F > 0                 e               det ⁡ M F G < 0

Sabemos também que

M E G = M E F   M F G ⇒ det ⁡ M E G = det ⁡ M E F   ( det ⁡ M F G )

Assim, com os sinais que já temos:

det ⁡ M E G < 0

Assim, E e G são discordantes.

Passo 3

Já no item (c), se E e F são discordantes e F e G são concordantes, temos que

det ⁡ M E F < 0                 e               det ⁡ M F G > 0

Sabemos também que

M E G = M E F   M F G ⇒ det ⁡ M E G = det ⁡ M E F   ( det ⁡ M F G )

Assim, com os sinais que já temos:

det ⁡ M E G < 0

Assim, E e G são discordantes.

Passo 4

Por fim, no item (d), se E e F são discordantes e F e G são discordantes, temos que

det ⁡ M E F < 0                 e               det ⁡ M F G < 0

Sabemos também que

M E G = M E F   M F G ⇒ det ⁡ M E G = det ⁡ M E F   ( det ⁡ M F G )

Assim, com os sinais que já temos:

det ⁡ M E G > 0

Assim, E e G são concordantes.

Resposta

Demonstração.

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Seja w o subespaço de R 3 formado pelos vetores V = ( x , y , z ) tais que x + 2 y + 4 z = 0 . Obtenha uma base { V 1 , V 2 , V 3 } de R 3 tal que V 1eV 2 pertençam a w .
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Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços abaixo: a) Das matrizes n × n que tem a primeira linha igual a última linha. b) Das funções que possuem a segunda derivada identicamente nula.
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