Enunciado

Seja S = p 0 ,   p 1 , … , p n um conjunto de polinômios tais que o grau de p k é igual a k, para k   =   0 , . . . , n . Mostre que S é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n.

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?

Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil:

S = p 0 ,   p 1 , … , p n

k   =   0 , . . . , n

Pessoal, precisamos determinar que o conjunto S = p 0 ,   p 1 , … , p n , seja uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n, entretanto, precisamos saber quais condições precisam ser atendidas para um tal conjunto ser base: 1ª condição: O conjunto deve ser linearmente independente, ou seja, não há possibilidade de escrever nenhum elemento do conjunto como combinação linear de outro2ª condição: O conjunto deve gerar todo o espaço

Passo 2

A primeira parte é demonstrar que são linearmente independentes, uma vez que: c 0 ∙ p 0 + c 1 ∙ p 1 , …   , c n ∙ p n = 0 p 0 + 0 p 1 + … + 0 p n

c n são constantes, essa equação só pode admitir solução trivial, para provar que S é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n. Essa definição só vale para uma vez que dois polinômios só são iguais se todos os coeficientes são iguais, portanto aí está a resolução.

Passo 3

Por fim, S = p 0 ,   p 1 , … , p n   gera todo o espaço de polinômios de grau menor ou igual que n, uma vez que qualquer p x ∈ P n   ( R ), podendo ser descrito como a 0 + a 1 + … + a n .

Portanto, S = p 0 ,   p 1 , … , p n é uma base P n   ( R ). Logo: ( P n   ( R ) ) = n

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

R e s p o s t a   n o s   p a s s o s   2   e   3

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Seja V = { ( 3 a + 4 b - 4 c ) , 2 a - 4 b - 6 c , - 2 a - 4 b + 2 c ) |a , b , c∈ R } um subespaço de R 3 .a) Determine um conjunto de geradores para V .
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