Enunciado

Prove que:

a) v → ⊥ w →   e   v → ⊥ u → → u → ∧ v → ∧ w → = u → ∧ ( v → ∧ w → )

b) ( u → ,   w → ) é LD → ( u → ∧ v → ) ∧ w → = u → ∧ ( v → ∧ w → )

c) u → ∧ v → ∧ w → = u → ∧ v → ∧ w → → [ ( u → ,   w → ) é LD ou v → ⊥ w →   e   v → ⊥ u → ]

(Resumindo: u → ∧ v → ∧ w → = u → ∧ ( v → ∧ w → ) se, e somente se: u → e w → são LD, ou são ambos ortogonais a v → )

Passo 1

a) Se v → ⊥ w →   e   v → ⊥ u → , então:

v → . w → = 0

v → . u → = 0

Sabemos que u → ∧ v → ∧ w → = - v → . w → u → + ( u → . w → ) v → . Como v → . w → = 0 , temos:

u → ∧ v → ∧ w → = u → . w → v →   ( I )

Além disso, u → ∧ v → ∧ w → = u → . w → v → - ( u → . v → ) w → . Como v → . u → = 0 :

u → ∧ v → ∧ w → = u → . w → v →     ( I I )

Temos que I = ( I I ) , logo

u → ∧ v → ∧ w → = u → ∧ v → ∧ w →

Passo 2

b) Sabemos que u → ∧ v → ∧ w → = - v → . w → u → + ( u → . w → ) v → .

Além disso, u → ∧ v → ∧ w → = u → . w → v → - ( u → . v → ) w → .

Como ( u → ,   w → ) é LD, temos que - v → . w → u → = - ( u → . v → ) w → , então

u → ∧ v → ∧ w → = - v → . w → u → + u → . w → v → = u → ∧ v → ∧ w → = u → . w → v → - ( u → . v → ) w →

Passo 3

c) Se u → ∧ v → ∧ w → = u → ∧ v → ∧ w → :

- v → . w → u → + u → . w → v → = u → . w → v → - ( u → . v → ) w →

- v → . w → u → = - ( u → . v → ) w →

Para que isso aconteça, ou os dois lados devem ser iguais a 0 ( v → . w → = 0 = v → . u → ) ou os vetores u → ,   w → devem ser LD. Por exemplo, imagine que

u → = ( a ,   b ,   c )

w → = ( 2 a ,   2 b ,   2 c )

v → = ( d ,   e ,   f )

u →   e   w → são LD, e são LI com v → .

- ( d ,   e ,   f ) . ( 2 a ,   2 b ,   2 c ) ( a ,   b ,   c ) = - ( ( a ,   b ,   c ) . ( d ,   e ,   f ) ) ( 2 a ,   2 b ,   2 c )

- 2 a d - 2 b e - 2 c f . a ,   b ,   c = ( - a d - b e - c f ) ( 2 a ,   2 b ,   2 c )

Multiplicando os dois lados, temos o mesmo resultado, então, ta provado :D

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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