Enunciado

Prove que:

a) ( u → ,   v → ) é LD → ( u → ,   v → ,   w → ) é LD.

b) ( u → ,   v → ,   w → ) é LI → ( u → ,   v → ) é LI.

c) ( u → ,   v → ) é LD ⇔ ( u → + v → ,   u → - v → ) é LD.

Passo 1

Bora analisar cada uma das afirmativas?

a) Se ( u → ,   v → ) é LD, quer dizer que esses dois vetores são paralelos certo?

Agora, para qualquer w → que adicionarmos nessa sequência, os 3 vetores serão LD, pois se u → e v → são vetores paralelos, eles com certeza serão coplanares com qualquer outro vetor w → .

b) Se ( u → ,   v → ,   w → ) é LI, quer dizer que os 3 vetores não são coplanares, logo, com certeza nenhum par terá vetores paralelos entre si certo? Portanto, ( u → ,   v → ) é LI, já que com certeza não são paralelos.

c) Se ( u → ,   v → ) é LD, temos:

u → = λ v →

Então:

u → + v → = λ v → + v → = v → ( λ + 1 )

u → - v → = λ v → - v → = v → ( λ - 1 )

Se a sequência fosse LI, teríamos, por absurdo:

λ + 1 = 0 → λ = - 1

λ - 1 = 0 → λ = + 1

Opa, mas os valores de λ deviam ser iguais, pois estamos falando do mesmo λ !!

Logo, os vetores, por absurdo, não podem ser LI, devem ser LD :)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Os vetores a → ,b → e c → são l . i . Determine uma base de V em relação à qual as coordenadas de a → , b → e c → são, respectivamente, 1,0 , 0 , ( 1,1 , 0 ) e 1,1 , 1 .
A figura ao lado é um cubo e B = ( a → , b → , c → ) é uma base.(a)Demonstre, algebricamente, que C = ( A G → , A F → , A H → ) é uma base.
A figura ao lado é um cubo e B = ( a → , b → , c → ) é uma base.(b)Determine na base B as coordenadas de x → = 1,2 , - 2 C .
Dados os vetores u e v, prove que as afirmações seguintes são equivalentes: b) Se αu + βv = α′u + β′v então α = α′ e β = β′.
Dados os vetores u e v, prove que as afirmações seguintes são equivalentes: a) Uma combinação linear αu + βv só pode ser igual a zero quando α = β = 0.