Enunciado

Prove que uma reta tangente a uma elipse não separa os focos

Passo 1

A equação normal de uma elipse é:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

E o ponto de tangência é T = ( h , k ) e os seus focos estão em:

F 1 = ( - c , 0 )

F 2 = ( c , 0 )

E a reta tangente de uma elipse tem equação igual a:

h x a 2 + k y b 2 = 1

E basicamente queremos saber se a reta tangente em um y = 0   terá um valor maior que c , ou seja:

x > | c |

Passo 2

Pois bem ,zerando y na equação da reta tangente nós teremos:

h x a 2 = 1

x = a 2 h

E por definição de uma hipérbole horizontal a > c e como h varia entre valores entre - a e a . Então sempre estaremos com valores iguais a:

h = a n

Onde n é um valor indo de 1 até (algo como h está em uma posição de x na metade de a , ou seja h = a 2 ) portanto:

x = a 2 a n = n a

E esse valor também será maior que c , logo sempre teremos:

x > c

Então se a reta tangente não corta o eixo x entre os valores de foco, então ele não separa os focos.

Essa análise também funciona para elipses verticais, só que aí teríamos que verificar o corte da reta tangente no eixo y .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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