Enunciado

Se F 1 e F 2 são os focos da elipse E : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , prove que:

a P é um ponto interior a E se, e somente se, d P 1 F 1 + d P 1 F 2 < 2 a ;

b P é exterior à elipse se, e somente, se d P 1 F 1 + d P 1 F 2 > 2 a ;

Passo 1

Sejam F 1   , F 2   e   P pontos distintos de um plano e 2 a uma distância qualquer tomada neste mesmo plano tal que 2 a > F 1 F 2 - . A elipse nada mais é do que o lugar geométrico dos pontos desse plano onde P F 1 - + P F 2 - = 2 a . Agora, lembraremos o que é um ponto interno e externo, tomando uma definição menos formal temos que um ponto é dito interior a uma elipse quando suas coordenadas se encontram completamente dentro da elipse, enquanto que um ponto exterior é exatamente o contrário.

Passo 2

Pois bem, feita a nossa definição da elipse fica intuitivo saber provar ambos itens desde que nos lembremos que no caso em que temos P F 1 - + P F 2 - = 2 a vamos estar exatamente no bordo da nossa elipse. Dessa forma, tomando pontos onde temos P F 1 - + P F 2 - < 2 a vamos estar exatamente dentro da elipse e, assim, qualquer ponto com essa característica é ponto interior. De forma análoga, temos que para o caso em que P F 1 - + P F 2 - > 2 a vamos ter que o ponto P será exterior. Lembrando que somente nesses casos vamos ter as condições do ponto ser interno ou externo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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