Enunciado

Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem comprimento igual à metade do comprimento desse lado.

Passo 1

Fala, pessoal! Questãozinha de demonstração mas não precisa se preocupar porque vai ser tranquilo. Vamos começar desenhando um triângulo aleatório, escolhendo os pontos médios de dois dos lados e calcular o vetor que os une.

Na figura acima, podemos notar que

M N → = M C → + C N → = - C M → + C N →

Como M é ponto médio do segmento que liga B e A, então

C M → = 1 2 C A →

Além disso, podemos ser espertos e utilizarmos o resultado do Exercício Resolvido 3 para obter

C N → = 1 2 ( C A → + C B → )

Agora, substituímos esses dois resultados na nossa primeira equação e obtemos

M N → = - C M → + C N → = - 1 2 C A → + 1 2 ( C A → + C B → ) = 1 2 C B →

O resultado M N → = 1 2 C B → prova que M N → é paralelo a C B → , enquanto o termo de proporcionalidade 1 2 indica que o comprimento de M N → é metade daquele de C B → . Esse resultado não depende do triângulo nem dos lados escolhidos, então é sempre verdadeiro.

Resposta

Ver a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que uxvxw =u , wv - u , v w . (Sugestão: Os dois membros desta proposta igualdade são funções φ u , v , we ψ ( u , v , w ) , de três variáveis vetoriais, lineares em relação a cada uma delas, t
No espaço quadrimensional R 4 , defina o produto interno u , v , dos vetores u = ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) e v = ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) . Defina vetores ortogonais. Imitando o caso de R 3 , defina
Fixando uma reta r , indiquemos com v ' a projeção ortogonal de um vetor arbitrário v sobre r . Prove as seguintes propriedades:a) v + w ' = v ' + w '
Dados os vetores arbitrários uev , mostre que u . vev . u são vetores do mesmo comprimento.
Dado o paralelogramo A B C D , ponha A B → = ueA C → = v ,logo A D → = u + v e B C → = v - u . Prove que u - v 2 + u + v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 e conclua que em todo paralelogramo a soma dos quadrados das