Enunciado

Demonstre: Em um quadrilátero qualquer ABCD, os pontos médios M, N, P e Q dos lados são vértices de um paralelogramo.

Passo 1

Essa é uma daquelas questões que é tão óbvia visualmente que às vezes a gente acha que nem precisa de demonstração. Veja, por exemplo, a figura abaixo:

Ok! Está bem claro que os pontos médios são vértices de um paralelogramo. Mas como provar isso? Bom, num paralelogramo os lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento. É isso que devemos mostrar.

Passo 2

Vamos começar verificando que Q P → = M N → . Vamos escrever esses dois vetores em termos de A B → e A D → e verificar que obtemos o mesmo resultado. Como ABCD é um paralelogramo, então A B → = D C → e A D → = B C → . Além disso, para os pontos médios vale A M → = 1 2 A B → , B N → = 1 2 B C → e assim por diante. Com essas informações, podemos calcular:

Q P → = Q D → + D P → = 1 2 A D → + 1 2 D C → = 1 2 A D → + 1 2 A B →

M N → = M B → + B N → = 1 2 A B → + 1 2 B C → = 1 2 A B → + 1 2 A D →

Assim, conseguimos mostrar que Q P → = M N → .

Passo 3

Agora vamos verificar que Q M → = P N → . Temos

Q M → = Q A → + A M → = - A Q → + A M → = - 1 2 A D → + 1 2 A B →

P N → = P C → + C N → = P C → - N C → = 1 2 D C → - 1 2 B C → = 1 2 A B → - 1 2 A D →

Então, como os lados opostos de MNQP são paralelos e de mesmo comprimentos, concluímos que a figura se trata de um paralelogramo.

Resposta

Ver a resolução acima.

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