Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear - Capítulo 15.Problemas - Ex. 13b

Prove a seguinte propriedade do comprimento (ou norma) de um vetor:

v + w ≤ v + | w |

Passo 1

Falaaaa, beleza??? Vamos começar lembrando qual o conceito de módulo de um vetor:

Dado o vetor v = a , b ,   t e m o s   q u e   v =   a 2 + b 2

Passo 2

Vamos tomar   v = a , b   e   w = ( c , d )

v + w = ( a + c , b + d )

Logo:

v + w =   a + c 2 + b + d 2

=   a 2 + c 2 + b 2 + d 2 + 2 ( a c + b d )

Além disso, v + w =   a 2 + b 2 + c 2 + d 2

Passo 3

Vamos supor que v + w ≤ v + | w |

E checar se é verdade:

a 2 + c 2 + b 2 + d 2 + 2 ( a c + b d ) ≤   a 2 + b 2 + c 2 + d 2

Vamos elevar ao quadrado ambos lados (todos maiores do que zero):

a 2 + c 2 + b 2 + d 2 + 2 a c + 2 b d ≤ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 ( ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 )

a c + b d ≤   ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 )

a c + b d ≤   a c 2 + a d 2 + b d 2 + b c 2

Agora fica mais claro para ver que é verdade, pois:

x y ≤   x y 2 + ( a l g o   p o s i t i v o )

Com isso, podemos concluir que a inequação é verdade, ou seja nossa suposição é verdade

Resposta

Demonstração

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