Enunciado

Prove que, se r é uma tangente a elipse E , então todos os seus pontos, exceto o ponto de tangência, são exteriores a E .

Passo 1

Essa é daquelas questões que são bem fáceis de ver até, mas provar matematicamente é meio chato mesmo. Vamos assumir que temos um ponto ( h , k ) que é o ponto tangente e outro ponto ( u , v ) que está nessa reta tangente e que é exterior a elipse, ou seja:

h 2 p + k 2 q = 1

E

u 2 p + v 2 q > 1

Como p = a 2 e q = b 2

u 2 b 2 + v 2 a 2 > a 2 b 2

Além de:

h 2 b 2 + k 2 a 2 = a 2 b 2

A equação vetorial dessa reta será de:

X = h , k + λ ( u - h , v - k )

E esse valor de λ é único, pois somente existe uma reta que tangência a elipse em ( h , k ) qualquer outro valor aí teremos uma secante, vamos provar isso no próximo passo.

Passo 2

Dessa forma nós teremos:

( h + λ ( u - h ) ) 2 p + k + λ ( v - k ) 2 q - 1 = 0

Isso nos daria uma equação do segundo grau em relação a λ , o que nos daria dois valores de λ só que pela ϕ ( λ ) (tal como feita na página 323 )nos teríamos:

ϕ 0 ϕ 1 = h 2 p + k 2 q - 1 u 2 p + v 2 q - 1 = 0

Isso nos diz que λ 1 = λ 2 e essa condição somente pode ser aceita para Δ = 0 , pois uma reta secante terá pontos que pertençam a elipse mas não terão os mesmos valores para λ . Então pela questão 53 vemos que se abrindo a equação que abre esse passo o valor de Δ será:

Δ = 4 h ( u - h ) a 2 + k ( v - k ) b 2 2 = 0

Δ = b 2 h u - h + a 2 k v - k = 0

Δ = b 2 h u + a 2 k v - b 2 h 2 - a 2 k 2 = 0

Δ = b 2 h u + a 2 k v - a 2 b 2 = 0

b 2 h u + a 2 k v = a 2 b 2

h u a 2 + k v b 2 = 1

E essa condição somente se prova se ( u , v ) é exterior a elipse pois essa é a base da equação da reta tangente formada pelo ponto de tangência e o ponto ( u , v ) externo a elipse.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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