Enunciado

Quantas matrizes A de tamanho 3 × 3 você consegue encontrar tais que

A x y z = x + y x - y 0

com quaisquer escolhas de x ,   y e z ?

Passo 1

Começaremos esse problema definindo a matriz A 3 × 3 de maneira genérica:

A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Passo 2

Agora, vamos montar a equação matricial para essa matriz generalizada e resolvê-la:

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 . x y z = x + y x - y 0

Fazendo o produto a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 . x y z e igualando a x + y x - y 0 , encontramos três equações

a 11 . x + a 12 . y + a 13 . z = x + y a 21 . x + a 22 . y + a 23 . z = x - y a 31 . x + a 32 . y + a 33 . z = 0

Passo 3

Para satisfazer essas igualadades, temos observar que cada elemento a i j é um coeficiente que multiplica uma das três incógnitas.

  • Então, para satisfazer a primeira equação, o elemento a 13 deve ser igual a zero e os elementos a 11 e a 12 devem ser iguais a 1 para que a 11 . x + a 12 . y + a 13 . z = x + y
  • Para satisfazer a segunda equação, o elemento a 13 deve ser igual a zero e os elementos a 2 1 e a 2 2 devem ser iguais a 1 e - 1 respectivamente para que

a 21 . x + a 22 . y + a 23 . z = x - y

  • Para satisfazer a terceira equação, os três coeficientes devem ser iguais a zero para que a 31 . x + a 32 . y + a 33 . z = 0

Passo 4

Finalmente, agora devemos substituir os coeficientes encontrados nas equações na matriz A .

Assim:

A = 1 1 0 1 - 1 0 0 0 0

Resposta

A = 1 1 0 1 - 1 0 0 0 0

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