Enunciado

Resolva o sistema

y_1^' = 4 y_1 + 2 y_2 + 2 y_3 y_2^' = 2 y_1 + 4 y_2 + 2 y_3 y_3^' = 2 y_1 + 2 y_2 + 4 y_3

Passo 1

A gente tem o sistema:

y_1^' = 4 y_1 + 2 y_2 + 2 y_3 y_2^' = 2 y_1 + 4 y_2 + 2 y_3 y_3^' = 2 y_1 + 2 y_2 + 4 y_3

Colocando em forma matricial temos:

[[[[[4],[2],[2]],[[2],[4],[2]],[[2],[2],[4]]]]] [[[y_1],[y_2],[y_3]]] = [[[y_1^'],[y_2^'],[y_3^']]]

Então, a matriz de coeficientes é:

A = [[[[[4],[2],[2]],[[2],[4],[2]],[[2],[2],[4]]]]]

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os autovalores da matriz de coeficientes:

det (lambda I - A) = 0

Aplicamos os valores:

|[[[[lambda,-,4],[-,2],[-,2]],[[-,2],[lambda,-,4,],[-,2]],[[-,2],[-,2],[lambda,-,4]]]]| = 0

Calculamos o determinante:

(lambda - 4)^3 + (- 2)^3 + (- 2)^3 - 3 * (- 2) (lambda - 4) (- 2) = 0

Desenvolvemos o polinômio:

lambda^3 - 12 lambda^2 + 36 lambda - 32 = 0

Para resolver a equação temos que tentar dividir o polinômio. Como o valor livre é - 32 vamos tentar dividir o polinômio por múltiplos de 32: (x +- 1) , (x +- 2) , (x +- 4) , (x +- 8) , etc.

Assim, percebe-se que:

(lambda - 2)^2 (lambda - 8) = 0

Então os autovalores são:

[[lambda_1,=,2,lambda_2,=,2,lambda_3,=,8]]

Passo 3

E agora vamos calcular os autovetores e a base dos autos espaços pela relação.

(lambda I - A) vec x = 0

[[[[[lambda,-,4],[-,2],[-,2]],[[-,2],[lambda,-,4,],[-,2]],[[-,2],[-,2],[lambda,-,4]]]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

Para lambda_1 = 2

[[[[[-,2],[-,2],[-,2]],[[-,2],[-,2,],[-,2]],[[-,2],[-,2],[-,2]]]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

Perceba que todas as linhas são iguais, então podemos eliminar a segunda e terceira linhas. Vamos aproveitar e dividir a primeira linha por - 2

[[[[[1],[0],[0]],[[1],[0],[0]],[[1],[0],[0]]]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

Logo:

x_1 + x_2 + x_3 = 0

Então, vamos chamar x_1 de s e x_2 de t :

x_1 = s

x_2 = t

x_3 = - s - t

O autovalor será:

vec x_1 = [[[s],[t],[-,s,-,t]]] = [[[s],[0],[-,s]]] + [[[0],[t],[-,t]]]

Como o autovalor lambda = 2 aparece duas vezes, então ele terá duas bases de autoespaço

[[p_1,=,[[[1],[0],[-,1]]],p_2,=,[[[0],[1],[-,1]]]]]

Passo 4

Para lambda_3 = 8

[[[[[4],[-,2],[-,2]],[[-,2],[4,],[-,2]],[[-,2],[-,2],[4]]]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

Vamos utilizar eliminação Gaussiana.

Vamos pegar a primeira linha, dividir por 2 e somar na segunda e terceira linhas:

[[[[[4],[0],[0]],[[-,2],[3],[-,3]],[[-,2],[-,3],[3]]]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

A segunda e terceira linha são múltiplos escalares entre si, então podemos eliminar a terceira linha. Vamos aproveitar e também dividir a primeira linha por 2 e a terceira linha por 3

[[[[[2],[0],[0]],[[-,1],[1],[0]],[[-,1],[-,1],[0]]]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

E agora vamos pegar a segunda linha e somar na primeira linha: [[[[[2],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[-,2],[-,1],[0]]]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

E por fim, dividimos a primeira linha por 2 :

[[[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[-,1],[-,1],[0]]]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

Chegamos em:

x_1 + x_3 = 0

x_2 - x_3 = 0

Se chamarmos x_3 = t então x_2 = - t e x_3 = - t

Logo, o autovetor e a base do auto espaço são:

[[vec x_3,=,[[[1],[1],[1]]],t,p_3,=,[[[1],[1],[1]]]]]

Passo 5

Vamos utilizar as bases dos autovetores para determinar a matriz P:

P = [[[p_1,p_2,p_3]]] = [[[[[1],[0],[-,1]],[[0],[1],[-,1]],[[1],[1],[1]]]]]

E agora vamos diagonalizar a matriz A, para isso basta utilizarmos os autovalores:

D = P^(- 1) A P = [[[lambda_1,0,0],[0,lambda_2,0],[0,0,lambda_3]]] => D = [[[2,0,0],[0,2,0],[0,0,8]]]

Passo 6

Agora vamos resolver o sistema diagonal:

vec u^' = D * vec u

[[[u_1^'],[u_2^'],[u_3^']]] = [[[2,0,0],[0,2,0],[0,0,8]]] * [[[u_1],[u_2],[u_3]]]

Efetuando o produto matricial:

u_1^' = 2 u_1 u_2^' = 2 u_2 u_3^' = 8 u_3

Pela solução geral de equações diferenciais, podemos assumir que:

u_1 = c_1 e^(2 x) u_2 = c_2 e^(2 x) u_3 = c_3 e^(8 x)

Logo:

vec u = [[[c_1,e^(2 x)],[c_2,e^(2 x)],[c_3,e^(8 x)]]]

Passo 7

Agora vamos calcular a equação diferencial:

vec y = P * vec u

Vamos aplicar:

[[[y_1],[y_2],[y_3]]] = [[[[[1],[0],[-,1]],[[0],[1],[-,1]],[[1],[1],[1]]]]] * [[[c_1,e^(2 x)],[c_2,e^(2 x)],[c_3,e^(8 x)]]]

Efetuando a multiplicação matricial chegamos na solução das equações:

[[[y_1],[y_2],[y_3]]] = [[[-,c_1,e^(2 x),+,c_3 e^(3 x) +,c_3,e^(8 x)],[- c_3 e^(3 x) +,c_2,e^(2 x),+,c_3,e^(8 x)],[-,c_1,e^(2 x),-,c_2,e^(2 x),+,c_3,e^(8 x)]]]

Podemos expressar como:

[[y_1,=,-,c_1,e^(2 x),+,c_3 e^(3 x) +,c_3,e^(8 x)],[y_2,=,- c_3 e^(3 x) +,c_2,e^(2 x),+,c_3,e^(8 x)],[y_3,=,-,c_1,e^(2 x),-,c_2,e^(2 x),+,c_3,e^(8 x)]]

Passo 8

Item B)

A questão nos afirma que quando x = 0 , então y_1 (0) = - 1 , y_2 (0) = 1 , y_3 = 0

[[y_1,(,0,),=,-,c_1,e^(2 x),+,c_3 e^(3 x) +,c_3,e^(8 x)],[y_2,(,0,),=,- c_3 e^(3 x) +,c_2,e^(2 x),+,c_3,e^(8 x)],[y_3,(,0,),=,-,c_1,e^(2 x),-,c_2,e^(2 x),+,c_3,e^(8 x)]] => [[-,1,=,-,c_1,e^0,+,c_3 e^(3 x) +,c_3,e^0],[-,1,=,- c_3 e^(3 x) +,c_2,e^(2 x),+,c_3,e^0],[-,,0,=,-,c_1,e^0,-,c_2,e^0,+,c_3,e^0]]

Chegamos em:

[[-,1,=,-,c_1,+,c_3 +,c_3],[-,1,=,- c_3 +,c_2,+,c_3],[-,,0,=,-,c_1,-,c_2,+,c_3]]

Resolvendo esse sistema:

c_1 = - 1 c_2 = 1 c_3 = 0

As equações se tornam:

[[y_1,=,-,e^(2 x),- e^(2 x)],[y_2,=,-,e^(2 x),- e^(2 x)],[y_3,=,-,e^(2 x),-,e^(2 x)]]

Resposta

  1. [[y_1,=,-,c_1,e^(2 x),+,c_3 e^(3 x) +,c_3,e^(8 x)],[y_2,=,- c_3 e^(3 x) +,c_2,e^(2 x),+,c_3,e^(8 x)],[y_3,=,-,c_1,e^(2 x),-,c_2,e^(2 x),+,c_3,e^(8 x)]]
  2. [[y_1,=,-,e^(2 x),- e^(2 x)],[y_2,=,-,e^(2 x),- e^(2 x)],[y_3,=,-,e^(2 x),-,e^(2 x)]]
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