Enunciado

Às vezes, é possível resolver uma só equação diferencial linear de coeficientes constantes de ordem superior expressando-a como um sistema e usando os métodos desta seção. Para a equação y ' ' - y ' - 6 y = 0 ,   mostre que as substituições y 1 = y e y 2 = y ' levam os sistema

y 1 ' = y 2

y 2 ' = 6 y 1 + y 2

Resolva esse sistema e use o resultado para resolver a equação diferencial

Passo 1

Vamos pegar a equação de sugunda ordem:

y ' ' - y ' - 6 y = 0

Vamos chamar

y 1 = y

y 2 = y '

Vamos derivar essas duas definições:

y 1 ' = y ' = y 2

y 2 ' = y ' '

Vamos substituir na equação de segunda ordem:

y 2 ' - y 2 - 6 y 1 = 0

E vamos reorganizar:

y 2 ' = y 2 + 6 y 1

Então, o nosso sistema de equações será:

y 1 ' = y 2

y 2 ' = 6 y 1 + y 2

Passo 2

Agora vamos resolver o sistema. Primeiro podemos determinar a matriz de coeficientes:

A = 0 1 6 1

E calulamos os autovalores:

det ⁡ λ I - A = 0

λ - 1 - 6 λ - 1 = 0

λ 2 - λ - 6 = 0

λ 1 = 3 λ 2 = - 2

Passo 3

Agora vamos calcular os autovalores e bases dos auto-espaços

λ I - A x → = 0

λ - 1 - 6 λ - 1 x 1 x 2 = 0 0

Para λ = 3

3 - 1 - 6 2 x 1 x 2 = 0 0

Perceba que as linhas são múltiplos escalares entre si. Então vamos zerar a segunda linha:

3 - 1 0 0 x 1 x 2 = 0 0

Chegamos em:

3 x 1 - x 2 = 0

Se chamarmos x 1 = t :

3 t - x 2 = 0 ⇒ x 2 = 3 t

Logo o autovetor e base do autoespaço será:

x 1 → = 1 3 t p 1 = 1 3

Passo 4

Para λ = - 2

- 2 - 1 - 6 - 3 x 1 x 2 = 0 0

Perceba que as linhas são múltiplos escalares entre si. Então vamos zerar a segunda linha:

- 2 - 1 0 0 x 1 x 2 = 0 0

Chegamos em:

- 2 x 1 - x 2 = 0

Se chamarmos x 1 = t :

- 2 t - x 2 = 0 ⇒ x 2 = - 2 t

Logo o autovetor e base do autoespaço será:

x 2 → = 1 - 2 t p 2 = 1 - 2

Passo 5

Vamos utilizar as bases dos autovetores para determinar a matriz P:

P = p 1 p 2 = 1 3 1 - 2

E agora vamos diagonalizar a matriz A:

D = P - 1 A P = λ 1 0 0 λ 2 ⇒ D = 3 0 0 - 2

Passo 6

Agora vamos resolver o sistema diagonal:

u → ' = D ⋅ u →

u 1 ' u 2 ' = 3 0 0 - 2 ⋅ u 1 u 2

Efetuando o produto matricial:

u 1 ' = 3 u 1 u 2 ' = - 2 u 2

Pela solução geral de equações diferenciais, podemos assumir que:

u 1 = c 1 e 3 x u 2 = c 2 e - 2 x

Logo:

u → = c 1 e 3 x c 2 e - 2 x

Passo 7

Agora vamos calcular a equação diferencial:

y → = P ⋅ u →

Vamos aplicar:

y 1 y 2 = 1 3 1 - 2 ⋅ c 1 e 3 x c 2 e - 2 x

Efetuando a multiplicação matricial chegamos na solução das equações:

y 1 y 2 = c 1 e 3 x + c 2 e - 2 x 3 c 1 e 3 x - 2 c 2 e - 2 x

Podemos expressar como:

y 1 = c 1 e 3 x + c 2 e - 2 x y 2 = 3 c 1 e 3 x - 2 c 2 e - 2 x

Passo 8

Como definimos lá no Passo 1:

y 1 = y

Então a solução da equação y ' ' - y ' - 6 y = 0 é:

y 1 = y = c 1 e 3 x + c 2 e - 2 x

Resposta

y = c 1 e 3 x + c 2 e - 2 x

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