Enunciado

Resolva os sistemas abaixo:

  1. {[[x + y + z = 1],[x - y + 2 z = 2],[x + 6 y + 3 z = 3]])

Passo 1

Antes de mais nada vamos chamar cada linha do sistema de uma letra para simplificar a nossa vida:

{[[x + y + z = 1 -> L_1],[x - y + 2 z = 2 -> L_2],[x + 6 y + 3 z = 3 -> L_3]])

Agora vamos fazer as combinações que são permitidas para encontrar os valores de x , y , z :

Primeiro, vamos fazer a seguinte operação:

- L_1 + L_3 -> L_3

Isso quer dizer que vamos multiplicar por (- 1) todos os elementos da linha 1 e depois somar com os elementos da linha 3 e a resposta ficará na posição da linha 3. Ficaremos então com essa carinha aqui

{[[x + y + z = 1 -> L_1],[x - y + 2 z = 2 -> L_2],[5 y + 2 z = 2 -> L_3]])

Passo 2

Agora vamos fazer um procedimento bem parecido, porém utilizando as linhas L_1 e L_2 :

- L_1 + L_2 -> L_2

Fazendo essa operação entre as duas linhas, nosso sistema vai ficar com essa carinha aqui:

{[[x + y + z = 1 -> L_1],[- 2 y + z = 1 -> L_2],[5 y + 2 z = 2 -> L_3]])

Passo 3

Nosso objetivo é chegar num sistema escalonado, porque isso vai facilitar muuuuito a nossa vida para encontrar os valores de x , y , z . Para isso, agora vamos fazer a seguinte operação:

2 L_3 + 5 L_2 -> L_3

Ao fazermos essa operação e o resultado colocando na terceira linha do nosso sistema, vamos ficar com o sistema escalonado:

{[[x + y + z = 1 -> L_1],[- 2 y + z = 1 -> L_2],[9 z = 9 -> L_3]])

Agora fica muuuito mais fácil de encontrar os valores de x , y , z . Olha só:

L_3 : 9 z = 9 => z = 1

Como já temos o valor de z = 1 podemos substituir esse valor na L_2 e encontrar o valor de y :

L_2 : - 2 y + z = 1 => - 2 y + 1 = 1 => y = 0

Por último, para encontrar o valor de x vamos utilizar os valores que encontramos de z = 1 e y = 0 na L_1 :

L_1 : x + y + z = 1 => x + 0 + 1 = 1 => x = 0

Logo, conseguimos encontrar os valores de x , y e z do sistema:

x = 0

y = 0

z = 1

Belezinha?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada item suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando operações elementares na matriz escalonada reduzida dada. Resolva o sistema correspondente.a) A=1 7 0 0 - 8 - 3 0 0 1
Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:a) x 1 +x 2 +2 x 3 = 8 - x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 1 3 x 1 - 7 x 2 + 4 x 3 = 10
Resolva os sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são:b) A = 1 1 3 - 3 0 0 2 1 - 3 3 1 0 2 - 1 - 1
Resolva os sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são:c) A = 1 2 3 0 1 1 1 0 1 1 2 0 1 3 3 0
Quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida: A = 1 0 0 0 3 0 0 1 0 - 4 0 0 0 1 2 , B = 0 1 0 0 - 4 0 0 1 0 5 0 0 0 - 1 2 , C = 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 e D = 0 0 0 0