Enunciado

A reta t é paralela a O x z , está contida em π : x + 2 y - z = 2 , e é concorrente com s . Obtenha uma equação vetorial de t , nos casos:

a) s : X = 2 ,   1 ,   1 + λ ( 1 ,   0 ,   2 )

b) s : X = 2 ,   1 ,   1 + λ ( 0 ,   1 ,   1 )

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos analisar algumas informações:

- O plano O x z tem vetor normal ( 0 ,   1 ,   0 )

- Como a reta t é paralela a esse plano, o produto escalar do seu vetor diretor ( a ,   b ,   c ) com ( 0 ,   1 ,   0 ) é 0, pois eles serão perpendiculares:

a ,   b ,   c . 0 ,   1 ,   0 = 0 a + b + 0 c = b = 0

Então já sabemos que o vetor diretor tem o formato ( a ,   0 ,   c ) né? Hahaha

- A reta t está contida no plano x + 2 y - z = 2 , então, seu vetor diretor ( a ,   0 ,   c ) é paralelo a esse plano, e pela proposição 14-21:

a + 2.0 - c = 0

a - c = 0

a = c

Logo, o vetor diretor da nossa reta tem o formato ( a ,   0 ,   a ) hahaha boaa

Agora vamos lançar a braba fazendo a reta ser concorrente com a reta s :P

Passo 2

a) Para que t seja concorrente com s , primeiramente, os seus vetores diretores devem ser LI.

Vamos ver qual o valor de a que faz eles serem LD, e aí saberemos também que para os outros valores de a eles vão ser LI hehe

a ,   0 ,   a = β ( 1 ,   0 ,   2 )

Igualando as coordenadas:

β = a 0 = 0 2 β = a

A única solução desse sistema é a = β = 0 , então, os vetores nunca vão ser LD, ou seja, vão ser LI para qualquer valor de a !!

Passo 3

Como a reta está contida no plano, ela vai cruzar com s no mesmo ponto onde s cruza com o plano ok?

Então vamos encontrar a intersecção de s com o plano. Um ponto genérico da reta s é A = ( 2 + λ ,   1 ,   1 + 2 λ ) , substituindo na equação do plano:

2 + λ + 2 . 1 - ( 1 + 2 λ ) = 2

2 + λ + 2 - 1 - 2 λ = 2

- λ = - 1

λ = 1

Então, para λ = 1 , o ponto A pertence a s , ao plano e, consequentemente, à reta t :

A = ( 3 ,   1 ,   3 )

Passo 4

Logo, escolhendo a = 1 , a reta t pode ser escrita como:

X = 3 ,   1 ,   3 + λ ( 1 ,   0 ,   1 )

Repare que para qualquer valor de a que escolhermos, ele sempre será LD com ( 1 ,   0 ,   1 ) , logo, independente do valor de a , teremos a mesma reta ok?

Abaixo temos em laranja o plano O x z , em roxo o plano π , em preto a reta s e em vermelho a reta t :) Repare que a reta t está contida no plano, enquanto a reta s é transversal a ele, portanto, com certeza a intersecção de s com o plano seria a intersecção de s com t hehe

Passo 5

b) Para que t seja concorrente com s , primeiramente, os seus vetores diretores devem ser LI.

Vamos ver qual o valor de a que faz eles serem LD, e aí saberemos também que para os outros valores de a eles vão ser LI hehe

a ,   0 ,   a = β ( 0 ,   1 ,   1 )

Igualando as coordenadas:

0 = a β = 0 β = a

A única solução desse sistema é a = β = 0 , então, os vetores nunca vão ser LD, ou seja, vão ser LI para qualquer valor de a !!

Passo 6

Como a reta está contida no plano, ela vai cruzar com s no mesmo ponto onde s cruza com o plano ok?

Então vamos encontrar a intersecção de s com o plano. Um ponto genérico da reta s é A = ( 2 ,   1 + λ ,   1 + λ ) , substituindo na equação do plano:

2 + 2 ( 1 + λ ) - ( 1 + λ ) = 2

2 + 2 + 2 λ - 1 - λ = 2

λ = - 1

Então, para λ = 0 , o ponto A pertence a s , ao plano e, consequentemente, à reta t :

A = ( 2 ,   0 ,   0 )

Passo 7

Logo, escolhendo a = 4 , a reta t pode ser escrita como:

X = 2 ,   0 ,   0 + λ ( 4 ,   0 ,   4 )

Repare que para qualquer valor de a que escolhermos, ele sempre será LD com ( 4 ,   0 ,   4 ) , logo, independente do valor de a , teremos a mesma reta ok?

Abaixo temos em laranja o plano O x z , em roxo o plano π , em preto a reta s e em vermelho a reta t :) Repare que a reta t está contida no plano, enquanto a reta s é transversal a ele, portanto, com certeza a intersecção de s com o plano seria a intersecção de s com t hehe

Repare também, que nesse caso a reta t está contida também no plano O x z , logo, ela é a intersecção dos dois planos :)

Resposta

a) X = 3 ,   1 ,   3 + λ ( 1 ,   0 ,   1 )

b) X = 2 ,   0 ,   0 + λ ( 4 ,   0 ,   4 )

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