Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano que contém os pontos ( 2 ,   0 ,   0 ) e ( 0 ,   2 ,   0 ) e a reta interseção dos planos π 1 : 3 x - 2 y - z - 3 = 0 e π 2 : 2 x + y + 4 z - 2 = 0 .

Passo 1

Os vetores diretores do nosso plano vão ser um vetor A B → que liga os pontos A = ( 2 ,   0 ,   0 ) e B = ( 0 ,   2 ,   0 ) e o vetor diretor da reta r   que é a intersecção de π 1 e π 2 .

Temos

A B → = B - A = ( - 2 ,   2 ,   0 )

Agora é só encontrarmos a reta para termos seu vetor diretor hehe

Passo 2

As equações planares de r são

3 x - 2 y - z - 3 = 0 2 x + y + 4 z - 2 = 0

Multiplicando a segunda equação por 2 :

3 x - 2 y - z - 3 = 0 4 x + 2 y + 8 z - 4 = 0

Somando as duas equações:

7 x + 7 z - 7 = 0

x + z - 1 = 0

x = - z + 1

Passo 3

Substituindo x = - z + 1 na segunda equação:

2 ( - z + 1 ) + y + 4 z - 2 = 0

- 2 z + 2 + y + 4 z - 2 = 0

y = - 2 z

Então, a equação da reta r tem o formato

x ,   y ,   z = ( - z + 1 ,   - 2 z ,   z )

x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   0 + λ ( - 1 ,   - 2 ,   1 )

Então, o segundo vetor diretor do nosso plano é ( - 1 ,   - 2 ,   1 ) :P

Passo 4

Para encontrarmos a equação geral do plano, precisamos do seu vetor normal, que vai ser o produto vetorial dos seus vetores diretores:

- 2 ,   2 ,   0 ∧ - 1 ,   - 2 ,   1 = ( 2 ,   2 ,   6 )

Então, a equação do plano pode ser escrita assim:

2 x + 2 y + 6 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 2 ,   0 ,   0 ) ou ( 0 ,   2 ,   0 ) nessa equação, porque os dois pertencem ao plano. Substituindo ( 2 ,   0 ,   0 ) :

2.2 + 2.0 + 6.0 + d = 0

d = - 4

Então a equação do plano é

2 x + 2 y + 6 z - 4 = 0

Resposta

2 x + 2 y + 6 z - 4 = 0

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