Enunciado

Se r é uma reta qualquer, contida no plano da circunferência Γ , escolha um sistema de coordenadas tal que r = O z e a circunferência tenha equações y - a 2 + z 2 = σ 2 ,   x = 0   ( a > 0 ,   σ > 0 ) , e obtenha, em relação a ele, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação de Γ em torno de r (se r e Γ são disjuntas, isto é, se a > 0 , trata-se de um toro, superfície com o aspecto de uma câmera de ar para pneus; se a = 0 , é uma superfície esférica).

Passo 1

Devemos obter uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva em torno da reta, certo?

Pela observação 26.9, temos que:

f x 2 + y 2 , z = 0

Passo 2

Trazendo para o nosso exercício, temos que:

f y , z = y - a 2 + z 2 = σ 2

                                ⇒ f x 2 + y 2 , z = 0

                                          ⇒ x 2 + y 2 - a 2 = σ 2

                                                                                                        ⇒ x 2 + y 2 - 2 a x 2 + y 2 + a 2 + z 2 = σ 2

                                                                                                      ⇒ x 2 + y 2 + a 2 + z 2 - σ 2 = 2 a x 2 + y 2

                                                                                                                        ⇒ 4 a 2 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + z 2 + a 2 - σ 2 2

Portanto, encontramos que a equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva em torno da reta é 4 a 2 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + z 2 + a 2 - σ 2 2 .

Resposta

4 a 2 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + z 2 + a 2 - σ 2 2

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