Enunciado

A reta t : y = 2 x + 4 tangencia a parábola P em um ponto de abscissa 2 , e r : x = - 8 é a diretriz de P . Obtenha uma equação reduzida da parábola.

Passo 1

As vezes a gente esquece mas a abcissa é o eixo horizontal, portanto o ponto de tangência é:

y = 2 x + 4 = 2 ⋅ 2 + 4 = 8

T = ( 2,8 )

E como r : x = - 8 é a diretriz de P , então sabemos que o foco está no eixo x porém não podemos cravar onde, só podemos dizer que a distância desse ponto de tangente até a diretriz é igual então:

d r , T = d ( T , F )

10 = 2 - x 2 + 8 - 0 2

100 - 64 = 2 - x 2

36 = x 2 - 4 x + 4

x 2 - 4 x - 32 = 0

x 1 ; x 2 = ( - 4,8 )

E a melhor forma de escrever essa equação é com posição do foco em ( 8,0 ) , pois aí de maneira fácil com a diretriz em x = - 8 nós conseguimos dizer que o parâmetro vale 8 e vértice na origem, nos dando uma equação de parábola igual a:

y 2 = 4 p x = 32 x

A imagem dessa parábola pode ser vista abaixo.

Passo 2

Utilizando x = - 4 a coisa não daria muito certo pois, teríamos que o meio entre - 8 e - 4 é - 6 portanto o vértice dessa parábola estaria em ( - 6,0 ) , e o parâmetro p cairia para 2 , Portanto a equação seria:

y 2 = 8 ( x + 6 )

A reta até bate com y = 2 x + 4 , só que essa reta forma uma secante com a parábola.

Resposta

y = 32 x

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