Enunciado

Sabendo que os vetores A B → = 2,1 , - 4 ,   A C → = m , - 1,3 e   A D → = ( - 3,1 - 2 ) determinam um tetraedro de volume 3 , calcular o valor de m .

Passo 1

E aí, tudo joia?

O volume do tetraedro é 1 6 do volume do paralelepípedo, ou seja:

V t = 1 6   A B → ,   A C → ,   A D →

Aqui a gente já tem os vetores, então vamos calcular o produto misto em função de m ...

Passo 2

O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:

d e t 2 1 - 4 m - 1 3 - 3 1 - 2 = 2 - 1 3 1 - 2 - 1 m 3 - 3 - 2 - 4 m - 1 - 3 1

= 2 2 - 3 - 1 - 2 m + 9 - 4 ( m - 3 )

= - 2 + 2 m - 9 - 4 m + 12

=   - 2 m + 1

A gente quer que o volume seja 3 , então vamos jogar isso na relação do volume do tetraedro...

Passo 3

Jogando na expressão (com módulo) temos:

3 = 1 6 - 2 m + 1

E aí aqui temos duas possibilidades:

3 = 1 6 - 2 m + 1

18 =   - 2 m + 1 → - 2 m = 17 → m = - 17 2

- 3 = 1 6 - 2 m + 1 →   - 18 = - 2 m + 1 → m = 19 2

Prontinho! Achamos os valores possíveis pra m para que o volume do tetraedro seja 3 😉

Resposta

m = - 17 2

m = 19 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(b) Calcule a mediana angular entre D E → ∧ D R →eD F → .
Seja E uma base ortonormal positiva.(a) Dadas as matrizes quadradas A e B , de ordem 3, indiquemos por a → 1 ,a → 2 ,a → 3 os vetores-coluna deA na base E (nessa ordem) e por b → 1 ,b → 2 ,b → 3 os ve
A pirâmide mostrada na Figura 12-6 (b) tem por base um quadrado de lado 2. As arestas que contêm o vértice V formam ângulos de 45 ° com o plano do quadrado, e a base V A → ,V D → ,V B → é postiva.(a)
A pirâmide mostrada na Figura 12-6 (b) tem por base um quadrado de lado 2. As arestas que contêm o vértice V formam ângulos de 45 ° com o plano do quadrado, e a base V A → ,V D → ,V B → é postiva.(b)
Dados os vetores a → = 1 ,- 1 ,2 ,b → = ( 3 ,4 ,- 2 ) e c → = ( - 5 ,1 ,- 4 ) , mostrar que a → . b → × c → = a → × b → . c → .