Enunciado

São dadas as bases ortonormais E e F . Determine a e b , sabendo que u → = 1 ,   1 ,   2 E = b ,   a ,   1 F e v → = 1 ,   2 ,   3 E = 3 ,   1 ,   2 F .

Passo 1

Bom, como as duas bases são ortonormais, podemos usar a fórmula

a 1 ,   b 1 ,   c 2 ⋅ a 2 ,   b 2 ,   c 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2

Além disso, o produto escalar independe da base escolhida, de modo que

u → ⋅ v → = 1 ,   1 ,   2 ⋅ 1 ,   2 ,   3 = b ,   a ,   1 ⋅ ( 3 ,   1 ,   2 )

O termo do meio é o produto escalar na base E e o da direita é o produto escalar na base F . Fazendo as contas:

1 + 2 + 6 = 3 b + a + 2 ⇒ a + 3 b = 7

Daí, tiramos que

a = 7 - 3 b

Passo 2

Vamos tirar uma outra equação da norma de u → :

u → 2 = 1 2 + 1 2 + 2 2 = b 2 + a 2 + 1 2

O termo representa a norma calculada com a base E e o termo da direita a base F . Assim,

a 2 + b 2 = 5

Passo 3

Temos que resolver o sistema

a = 7 - 3 b a 2 + b 2 = 5

Substituindo a primeira na segunda:

7 - 3 b 2 + b 2 = 5

Assim,

49 - 42 b + 9 b 2 + b 2 = 5 ⇒ 10 b 2 - 42 b + 44 = 0 ⇒ 5 b 2 - 21 b + 22 = 0

Assim,

Δ = - 21 2 - 4 ⋅ 5 ⋅ 22 = 441 - 440 = 1

Portanto,

b = 21 ± 1 10

Obtemos então

b = 2 ⇒ a = 1             o u           b = 11 5 ⇒ a = 2 5

Resposta

b = 2 ⇒ a = 1             o u           b = 11 5 ⇒ a = 2 5

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →