Enunciado

São dados, em cada caso, o foco e a diretriz de uma parábola. Obtenha uma equação algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto x , y da parábola deve satisfazer.

  1. F = 2,3 ; r : x = 0 .
  2. F = 3,1 ; r : y + 3 = 0 .
  3. F = - 4 , - 2 : r = 2 x + y = 3 .

Passo 1

Vamos lembrar da definição da parábola:

Uma parábola é o conjunto de pontos X do plano tais que

d X , F = d X , r

Passo 2

  1. Nesse caso, a diretriz é o eixo O y . O foco é F = 2,3 . Assim, o eixo da parábola deve ser paralelo ao eixo O x (veja a figura). A distância de F até r deve ser igual a 2 p :
  2. 2 p = x F - x r ∴ 2 p = 2 - 0 ⟹ p = 1

    O vértice da parábola deve ser o ponto

    V = 2 - 1 ,   3 = 1 ,   3

    Sua equação será:

    y - y V 2 = 4 p ⋅ x - x V ⟹ y - 3 2 = 4 x - 1 ⟺

    y 2 - 6 y - 4 x + 13 = 0

    Passo 3

  3. A diretriz é y = - 3 , que é paralela ao eixo O x . O foco é F = 3 ,   1 , de modo que:

2 p = y F - y r = 1 - - 3 = 4 ∴ p = 2

O vértice será dado por:

V = 3,1 - 2 = 3 , - 1

E a equação:

x - x V 2 = 4 p y - y V ⟹ x - 3 2 = 8 y + 1 ⟺

x 2 - 6 x - 8 y + 1 = 0

Passo 3

Nesse caso, a diretriz é oblíqua aos eixos! Assim, os formatos das equações x 2 = 4 p y ou y 2 = 4 p x não valem mais, pois na dedução foi considerado que a diretriz era paralela a um dos eixos. Portanto, devemos apelar para a definição dada no Passo 1.

Seja, então X = x , y um ponto da parábola.

A distância de X até F será:

d X , F = x + 4 2 + y + 2 2

A distância de X até r será:

d X , r = 2 x + y - 3 2 2 + 1 2 = 2 x + y - 3 5

Passo 4

Portanto,

x + 4 2 + y + 2 2 = 2 x + y - 3 5 ⟺

5 x + 4 2 + y + 2 2 = 2 x + y - 3 2

Onde elevamos a equação ao quadrado. Desenvolvendo, temos

5 x 2 + y 2 + 8 x + 4 y + 20 = 4 x 2 + y 2 + 9 + 2 2 x y - 6 x - 3 y ⟺

x 2 - 4 x y + 4 y 2 + 52 x + 26 y + 91 = 0

Observação: para expandir 2 x + y - 3 2 usamos o seguinte produto notável:

a + b + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + a c + b c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos exercícios de 21 a 26, ache uma nova equação para o gráfico da equação dada após uma translação de eixos para a nova origem, conforme está indicado. Trace os eixos originais e os novos e faça um e
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