Enunciado

São dados os números reais positivos a e b , e o vetor u → , de norma a . Dentre os vetores de norma b , qual é o que torna o produto escalar u → ⋅ v → máximo? E mínimo? Quais são esses valores máximo e mínimo.

Passo 1

Sabemos que o valor máximo de um produto escalar ocorre quando o ângulo entre os vetores é θ = 0 ° , e é mínimo quando θ = 180 ° . Para o máximo, temos que

u → ⋅ v → = u →   v → = a b

Já para o mínimo,

u → ⋅ v → = - u →   v → = - a b

Passo 2

Vamos olhar primeiro para o caso máximo: v deve apontar na mesma direção e sentido de u → :

v → = x   u → ,   x > 0

Assim, temos que

v → = x u → = x a

Assim,

a ⋅ x a = a b ⇒ x = b a

Portanto,

v → = b a   u →

Passo 3

Para o caso do mínimo, o raciocínio é o mesmo, mas o vetor está no sentido contrário:

v → = - b a   u →

Resposta

M á x i m o :     v → = b a   u → ⇒ u → ⋅ v → = a b

M á x i m o :     v → = - b a   u → ⇒ u → ⋅ v → = - a b

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre que, se V e W são vetores quaisquer, então: V ∙ W = 1 4 ( V + W 2 - V - W 2 )
Mostre que se V é ortogonal a W 1 e W 2 , então V é ortogonal a α 1 W 1 e a α 2 W 2 .
Demonstre que as diagonais de um losango são perpendiculares.
Demonstre que, se V e W são vetores quaisquer, então:b) V 2 + W 2 = 1 2 ( V + W 2 + V - W 2 )
Calcule a para que os vetores u →= ( 2 a + 1 , a , 1 ) , v →=( 2,0 , - 1 ) e w →=( 0,1 , - 1 ) fiquem coplanares. A seguir expresse v → como combinação linear de u → e w → .