Enunciado

5 Quais dos seguintes são subespaços de R?.

  1. Todas as sequencias v em R da forma v=(v, 2v, 4v, 8v, 16v, ...).

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando dois vetores quaisquer desse conjunto:

u = u 1 ,   2 u 1 ,   4 u 1 ,   8 u 1 ,   16 u 1 ,   0 ,   …

e

v = v 1 ,   2 v 1 ,   4 v 1 ,   8 v 1 ,   16 v 1 ,   0 ,   …

Quando somamos eles:

u + v = u 1 ,   2 u 1 ,   4 u 1 ,   8 u 1 ,   16 u 1 , … + v 1 ,   2 v 1 ,   4 v 1 ,   8 v 1 ,   16 v 1 ,   …

u + v = u 1 + v 1 ,   2 u 1 + 2 v 1 ,   4 u 1 + 4 v 1 ,   8 u 1 + 8 v 1 ,   16 u 1 + 16 v 1 ,   …

Podemos colocar os múltiplos de 2 em evidência:

u + v = u 1 + v 1 ,   2 u 1 + v 1 ,   4 u 1 + v 1 ,   8 u 1 + v 1 ,   16 u 1 + v 1 ,   …

Continuamos com uma sequência na forma que queriamos, ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda condição, tomando um vetor qualquer:

u = u 1 ,   2 u 1 ,   4 u 1 ,   8 u 1 ,   16 u 1 ,   0 ,   …

E um escalar qualquer: k

Multiplicando os dois teremos:

k u = k ⋅ u 1 ,   2 u 1 ,   4 u 1 ,   8 u 1 ,   16 u 1 ,   0 ,   …

k u = k ⋅ u 1 ,   k ⋅ 2 u 1 ,   k ⋅ 4 u 1 ,   k ⋅ 8 u 1 ,   k ⋅ 16 u 1 ,   0 ,   …

Podemos reescrever esses produtos dessa forma:

k u = k u 1 ,   2 k u 1 ,   4 k u 1 ,   8 k u 1 ,   16 k u 1 ,   0 ,   …

Que continua sendo um vetor na forma desejada, ou seja, a segunda condição também é válida.

Dessa maneira concluímos que as sequênias da forma v = v ,   0 ,   v ,   0 ,   v ,   0 ,   … formam um subespaço vetorial de R ∞ .

Resposta

É um subespaço vetorial de R ∞ .

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