Enunciado

1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.

  1. O conjunto de todas as matrizes A de tamanho nxn tais de tr(A)=0.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando duas matrizes quaisquer desse conjunto:

u = u 11 u 12 … u 1 n u 21 u 22 … u 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u n 1 u n 2 … u n n ,     tr ⁡ u = u 11 + u 22 + … + u n n = 0

E

v = v 11 v 12 … v 1 n v 21 v 22 … v 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ v n 1 v n 2 … v n n ,     tr ⁡ v = v 11 + v 22 + … + v n n = 0

Quando somamos eles:

u + v = u 11 u 12 … u 1 n u 21 u 22 … u 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u n 1 u n 2 … u n n + v 11 v 12 … v 1 n v 21 v 22 … v 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ v n 1 v n 2 … v n n

u + v = u 11 + v 11 u 12 + v 12 … u 1 n + v 1 n u 21 + v 21 u 22 + v 22 … u 2 n + v 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u n 1 + v n 1 u n 2 + v n 2 … u n n + v n n

Vamos calcular o traço dessa matriz para ver se continua sendo igual a zero:

tr ⁡ u + v = u 11 + v 11 + u 22 + v 22 + … + u n n + v n n

Podemos reescrever essa expressão dessa maneira:

tr ⁡ u + v = u 11 + u 22 + … + u n n + v 11 + v 22 + … + v n n

E sabemos quanto essas expressão valem:

tr ⁡ u + v = 0 + 0

tr ⁡ u + v = 0

Continuamos com o traço da matriz igual a zero, ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda condição, tomando uma matriz qualquer:

u = u 11 u 12 … u 1 n u 21 u 22 … u 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u n 1 u n 2 … u n n ,     tr ⁡ u = u 11 + u 22 + … + u n n = 0

E um escalar qualquer: k

Multiplicando os dois teremos:

k u = k ⋅ u 11 u 12 … u 1 n u 21 u 22 … u 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u n 1 u n 2 … u n n

k u = k u 11 k u 12 … k u 1 n k u 21 k u 22 … k u 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ k u n 1 k u n 2 … k u n n

Vamos calcular o traço dessa matriz para ver se continuamos com um traço igual a zero:

tr ⁡ k u = k u 11 + k u 22 + … + k u n n

Tirando o k em evidência:

tr ⁡ k u = k u 11 + u 22 + … + u n n

E sabemos quanto essas expressão vale:

tr ⁡ k u = k 0

tr ⁡ k u = 0

Ou seja, a segunda condição também é válida.

Dessa maneira concluímos que o conjunto das matrizes n × n com traço igual a zero formam um subespaço vetorial de M n n .

Resposta

É um subespaço vetorial de M n n .

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b. B ∈ M n nA B ≠ B A } .
b. ( x , y , z ) , tais que z = x + y ;
Encontre um conjunto de vetores que gera o espaço solução do sistema homogêneo A X = 0 - , em que a . A = 1 0 1 0 1 2 3 1 2 1 3 1