Enunciado

Seja Q (x , y) = x^2 + 12 x y - 4 y^2 . Determine uma base beta tal que

[v]_beta = [[[x_1],[y_1]]] e Q (v) = a x_1^2 + b y_1^2

Passo 1

Primeiro, observe que a matriz na base canônica é dada por:

[[[1,6],[6,-,4]]]

Conforme aprendemos em 10.5.

Passo 2

Precisamos fazer uma mudança de base tal que a matriz obtida seja diagonal.

Vamos, para isso, achar seus autovalores:

|[[lambda,-,1,-,6],[-,6,lambda,+,4]]| = ( lambda + 8 ) ( lambda - 5 )

Ou seja, seus autovalores são - 8 e 5 .

Passo 3

Do nosso estudo , sabemos que a matriz é dada por:

[[[-,8,0],[0,5]]]

Passo 4

Para achar a base, devemos encontrar os autovetores associados.

Para lambda = - 8 :

[[[-,9,-,6],[-,6,-,4]]] [[[x],[y]]] = 0

Para escalonar, basta subtrair a segunda linha da primeira multiplicada por (2)/(3) . Disso, a gente tem que:

- 9 x - 6 y = 0 => y = - (3)/(2) x

Que gera os autovetores:

[[[x],[-,(3)/(2),x]]] = x [[[1],[-,(3)/(2)]]]

Para lambda = 5 :

[[[4,-,6],[-,6,9]]] [[[x],[y]]] = 0

Que podemos escalonar somando a segunda linha com (3)/(2) da primeira.

Assim, temos:

4 x - 6 y = 0 => y = (2)/(3) x

Que gera os autovetores:

x [[[1],[(2)/(3)]]]

Passo 5

Assim, a base ortonormal é:

(2)/(sqrt(13)) (1 , - (3)/(2)) , (3)/(sqrt(13)) (1 , (2)/(3))

Resposta

Base: { (2)/(sqrt(13)) (1 , - (3)/(2)) , (3)/(sqrt(13)) (1 , (2)/(3)) } .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em 2b) você deve ter mostrado que todo produto interno é uma forma bilinear. A recíproca é verdadeira?
Seja A : R 3 → R 3 → R definida por A x , y , z , x ' , y ' , z ' = x y ' + x z ' - y x ' - z y ' + z z ' . Ache a matriz de A em relação às bases i ) canônica i i ){ 1,1 , 1 , 1,1 , 0 , ( 0,1 , 0 ) }
Considere o conjunto V * , formado por todas as formas lineares T : V → R , onde V é um espaço vetorial de dimensão n , e V * é chamado de espaço dual de V .Mostre que V * é um espaço vetorial.Mostre
Provar que se f : U × V ⟶ R e g : U × V ⟶ R são bilineares, então f + g e λ f são bilineares ( λ ∈R ) .
Seja f : U × V ⟶ R uma forma bilinear. Seja u 0 um vetor fixo de U . Se W = v ∈ V f u 0 ,v = 0 } , prove que W é um subespaço vetorial de V .