Enunciado

Seja A =

⎜   a                 b       ⎜

⎜   c                 d       ⎜

Ache condições necessárias e suficientes para que A seja diagonalizável.

Passo 1

Fala aiii, galera! Tudo tranquilo? Espero que sim.

Bom, uma matriz A é diagonalizável se ela for semelhante a uma matriz diagonal, ou seja, se A = P - 1 D P onde D é uma matriz diagonal. Nesse caso, os elementos de D são os autovalores λ 1 , λ 2 :

D =

⎜   λ 1                 0       ⎜

⎜   0                   λ 2     ⎜

Então, precisamos que a matriz A tenha dois autovalores distintos.

Passo 2

O polinômio característico de A é

p ( t ) = d e t ( A - t I 2 ) = ( a - t ) ( d - t ) - c b = t 2 - t ( a + d ) + a d - c b = 0

Veja que nós obtivemos um polinômio de segundo grau e precisamos de duas raízes diferentes, que vão ser os dois autovalores distintos da matriz. Assim, o discriminante deve ser positivo:

Δ = B 2 - 4 A C = ( a + d ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( a d - c b ) > 0

⇒ ( a 2 + d 2 + 2 a d ) - 4 ⋅ 1 ⋅ ( a d - c b ) > 0

⇒ ( a 2 + d 2 - 2 a d ) + 4 c b > 0

⇒ ( a - d ) 2 + 4 c b > 0

Essa condição é necessária e também suficiente para que a matriz seja diagonalizável.

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = ‖vec v‖ - ‖vec u‖
Seja vec u = (u_1 , u_2 , u_3) um vetor qualquer de R^3 . Mostre que ‖vec u‖ = |u_i| , i = 1,2 , 3 .
Sejam vec u e vec v vetores quaisquer do R^n . Prove que:vec u _|_ vec v ⟺ ‖vec u + vec v‖^2 = ‖vec u‖^2 + ‖vec v‖^2
Sejam vec u = (u_1 , u_2 , ... , u_n) e vec v = (v_1 , v_2 , ... , v_n) vetores quaisquer do R^n . Mostre que‖vec u - vec v‖ = |u_i - v_i| , i = 1,2 , ... , n
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .