Seja u = (u1, u2, u3) um vetor qualquer de R^3 . Mostre que ‖u‖ >= |ui|, i = 1,2,3 .

Passo 1

Primeiro vamos entender o que é u → e u i . Quando calculamos a norma de u → temos

u → = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2

E se pegarmos u i ,   i = 1,2 , 3 temos

u i = u i 2

Agora vamos tentar desenvolver um raciocínio.

Quando elevamos um número a a uma potência par, obtemos sempre um número não negativo, então

a 2 ≥ 0

Se somarmos b em ambos os lados da inequação

a + b ≥ b

Seja b qualquer real. Logo podemos dizer que

u i 2 + u j 2 ≥ u i 2

Para os valores dentro de i = 1,2 , 3 , j = 1,2 , 3 ,   i ≠ j . Podemos ainda substituir alguns valores e dizer que

u 1 2 + u 2 2 ≥ u 1 2

E ainda mais

u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 ≥ u 1 2 + u 2 2 ≥ u 1 2

u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 ≥ u 1 2 + u 2 2 ≥ u 1 2

u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 ≥ u 1 2

E podemos fazer para qualquer uma das coordenadas na direita da inequação, então

u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 ≥ u i 2

Se tirarmos a raiz quadrada em ambos os lados

u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 ≥ u i 2

u → ≥ u i

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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