Enunciado

a) Seja h a altura do triângulo A B C relativa ao lado A B . Prove que

h = A B → ∧ A C → A B →

b) Escreva expressões análogas à do item (a) para as outras duas alturas.

c) Sejam A , B e C pontos quaisquer tais que A ≠ B . Baseando-se no item (a), obtenha uma fórmula para calcular a distância de C à reta r determinada por A e B .

Passo 1

Bom, para resolver esse problema, vamos montar o triângulo A B C e o paralelogramo gerado por   A B → e   A C → :

A altura h do paralelogramo é a mesma altura do triângulo A B C . Sabemos que a área do paralelogramo é dada pela norma do produto vetorial:

A = A B → ∧ A C →

Sabemos também que

A = b a s e ⋅ h

Nesse caso, a base é b a s e = A B → . Assim,

A B → ⋅ h = A B → ∧ A C →

Portanto,

h = A B → ∧ A C → A B →

Passo 2

Para as demais alturas, a lógica será a mesma:

No primeiro caso,

h = A B → ∧ A C → A C →

No segundo,

h = A B → ∧ A C → B C →

Passo 3

No item (c), queremos a distância do ponto C até a reta A B . Mas note que essa distância é dada exatamente pela altura calculada no item (a):

d = h = A B → ∧ A C → A B →

Resposta

Demonstração.

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Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .
Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais tanto a i + j + k quanto a 2 i + k .
Se a = i - 2 k e b = j + k , determine a × b . Esboce a , b e a × b como vetores com início na origem.
Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b . a = 6,0 , - 2 , b = 0,8 , 0
Se a + b + c = 0 , mostre que a × b = b × c = c × a