Enunciado

a) Sejam B = ( - 5 ,   2 ,   3 ) e C = ( 4 ,   - 7 ,   - 6 ) . Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica para a reta B C . Verifique se D = ( 3 ,   1 ,   4 ) pertence a essa reta.

b) Dados A = ( 1 ,   2 ,   3 ) e u → = ( 3 ,   2 ,   1 ) , escreva equações da reta que contém A e é paralela a u → , nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. Supondo que o sistema de coordenadas seja ortogonal, obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta.

Passo 1

No item (a) queremos escrever a equação da reta que passa pelos pontos B = ( - 5 ,   2 ,   3 ) e C = ( 4 ,   - 7 ,   - 6 ) . Para isso, vamos achar primeiro o vetor diretor:

B C → = C - B = ( 9 ,   - 9 ,   - 9 )

Por simplicidade, vamos usar ( 1 ,   - 1 ,   - 1 ) como vetor diretor, pois ele é paralelo ao anterior. Assim, a equação da reta na forma vetorial é

X = B + λ   B C → ⇒ X = - 5 ,   2 ,   3 + λ   ( 1 ,   - 1 ,   - 1 )

Para escrever na forma paramétrica, fazemos

X = x ,   y ,   z = ( - 5 + λ ,   2 - λ ,   3 - λ )

Assim,

x = - 5 + λ y = 2 - λ z = 3 - λ

Isolando λ em cada equação:

λ = x + 5 = 2 - y = 3 - z

Assim, na forma simétrica, a equação é

x + 5 = - y + 2 = - z + 3

Essas respostas não são únicas!

Passo 2

Queremos verificar se D = ( 3 ,   1 ,   4 ) pertence a essa reta. Vamos testar na forma simétrica:

x + 5 = 3 + 5 = 8

- y + 2 = - 1 + 2 = 1

- z + 3 = - 4 + 3 = - 1

Claramente vemos que esse ponto não satisfaz a equação x + 5 = - y + 2 = - z + 3 . Assim, ele não pertence à reta.

Passo 3

No item (b) queremos a reta que passa por A = ( 1 ,   2 ,   3 ) e seja paralela a u → = ( 3 ,   2 ,   1 ) . Assim, na forma vetorial,

X = A + λ u → ⇒ X = 1 ,   2 ,   3 + λ   ( 3 ,   2 ,   1 )

Na forma paramétrica,

X = x , y ,   z = ( 1 + 3 λ ,   2 + 2 λ ,   3 + λ ) ⇒ x = 1 + 3 λ y = 2 + 2 λ z = 3 + λ

Isolando λ :

λ = x - 1 3 = y - 2 2 = z - 3

Assim, na forma simétrica:

x - 1 3 = y - 2 2 = z - 3 1

Passo 4

Para achar os vetores unitários da reta, temos que

u → = 3 2 + 2 2 + 1 1 = 14

Assim, os vetores unitários são

3 14 , 2 14 , 1 14           e             - 3 14 , - 2 14 , - 1 14

Resposta

X = - 5 ,   2 ,   3 + λ   ( 1 ,   - 1 ,   - 1 )

x = - 5 + λ y = 2 - λ z = 3 - λ

x + 5 = - y + 2 = - z + 3

D não pertence à reta

X = 1 ,   2 ,   3 + λ   ( 3 ,   2 ,   1 )

x = 1 + 3 λ y = 2 + 2 λ z = 3 + λ

x - 1 3 = y - 2 2 = z - 3 1

3 14 , 2 14 , 1 14           e             - 3 14 , - 2 14 , - 1 14

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