Enunciado

Seja λ um autovalor (fixo) de A . Demonstre que o conjunto formado por todos os autovetores de A associados a λ , juntamente com o vetor nulo, é um subespaço de R n . Este subespaço é chamado de autoespaço associado a λ . Em outras palavras, combinação linear de autovetores associados a um mesmo autovalor é um autovetor associado a esse mesmo autovalor.

Passo 1

E aí, pessoal! Ficaram confusos com essa questão? Eu sei, eu sei, parece bem complicada. Mas, vamos focar na última frase do enunciado: “combinação linear de autovetores associados a um mesmo autovalor é um autovetor associado a esse mesmo autovalor”. Então, vamos fazer o seguinte: A tem que ter n autovetores distintos, mas não necessariamente n autovalores. Podemos ter mais de um autovetor associado ao mesmo autovalor. Então, digamos que temos k autovetores de A associados a λ . Lógico que k < n para tudo fazer sentido. Assim, temos

A X 1 = λ X 1 ,   . . .   ,   A X k = λ X k

Passo 2

Agora, vamos escrever um vetor V como combinação linear dos [ 0 ̄ ,   X 1 ,   . . .   ,   X k ] :

V = α 1 X 1 + ⋯ + α k X k

Quando aplicamos A no vetor V , obtemos

A V = A [ α 1 X 1 + ⋯ + α k X k ] = α 1 A X 1 + ⋯ + α k A X k = α 1 λ X 1 + ⋯ + α k λ X k = λ [ α 1 X 1 + ⋯ + α k X k ] = λ V

⇒ A V = λ V

Opa! Quer dizer então que V é autovetor de A com autovalor λ . Então, [ 0 ̄ ,   X 1 ,   . . .   ,   X k ] é um subespaço de R n chamado de autoespaço associado a λ .

Espero que vocês tenham gostado dessa resolução e até a próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar uma matriz M ∈ M 4( R ) , inversível, tal que M - 1 A M seja diagonal, sendo A = 0 1 5 9 2 1 6 8 0 0 0 3 0 0 1 - 2
Estudar quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes A = - 1 - 4 - 2 - 2 - 4 - 1 - 2 - 2 2 2 1 4 2 2 4 1
Achar uma matriz diagonal semelhante à matriz([[3,-,1,-,1],[-,6,1,2],[2,1,0]])
Estudar quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes 1 2 - 2 2 1 - 2 2 2 - 3
7. a) Sejam T : V → V um operador linear (V de dimensão finita) e α e β bases distintas de T . Mostre que det ⁡ T α α = det ⁡ T β β (Sugestão: veja a relação entre T α α e T β β no capítulo 6).b) Se A