Enunciado

Uma matriz A é chamada nilpotente se A k = 0 ̄ , para algum inteiro positivo k . Reveja o Exercício 1.1.29 na página 27. Demonstre que se A é nilpotente, então o único autovalor de A é 0. (Sugestão: use o exercício anterior).

Passo 1

E aí, galera! Bom, no exercício anterior vimos que se uma matriz B tem autovalor associado a X , ou seja, B X = λ X , então o autovalor de B k associado a X é λ k , ou seja, B k X = λ k X . Ok, então vamos aplicar A k = 0 ̄ a um vetor X :

A k = 0 ̄ ⇒ A k X = 0 ̄ X = 0 ̄

Assim,o autovalor de A k é λ k = 0 , ou seja, λ = 0 é o autovalor de A . Como a equação acima vale para qualquer vetor X , λ = 0 é o único autovalor possível de A .

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P . A = 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2
3. Prove que se A for uma matriz simétrica positiva e u e v vetores em forma de coluna, então u , v = u T A v É um produto interno de R n .
1. Em cada caso, verifique que a matriz é ortogonal e encontre sua inversa.(a) 3 5 - 4 5 4 5 3 5 (b) 4 5 0 - 3 5 - 9 25 4 5 - 12 25 12 25 3 5 16 25
4. Encontre o polinômio característico e as dimensões dos autoespaços da matriz simétrica 3 2 2 2 3 2 2 2 3
5. Encontre uma matriz P que diagonalize A = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Ortogonalmente e determine a matriz diagonal D = P T A P .