Enunciado

Seja B = e 1 , e 2 , e 3 uma base de um espaço vetorial B sobre R . Sendo F , G ∈ L V dados por F e 1 = e 1 - e 2 , F e 2 = e 1 + e 3 . F e 3 = e 2 , G e 1 = 2 e 1 + e 3 , G e 2 = e 1 e G e 3 = e 2 - 3 e 1 , determinar em relação à base B as matrizes dos seguintes operadores lineares:

F , G , F + G , 2 F - G , F ∘ G , G ∘ F , F 2 + G 2 , F - 1 c a s o   e x i s t a   e   F ∘ G - 1   c a s o   e x i s t a .

Passo 1

Calma! Muita calma nesta hora. Não se assustem pela quantidade de informações pedidas na questão. Todas estas matrizes dos operadores lineares que a questão pede pode ser conseguida tranquilamente.

Para isto, basta fazermos algumas operações de soma e multiplicação de matrizes.

Mas para podermos fazer estas somas e multiplicações, nós precisamos de algo antes. Da essência! Bom, sem continuar enrolando, precisamos das matrizes de F e G (inclusive são duas respostas que a questão pede)!

Então, o nosso primeiro trabalho será determinar cada uma dessas matrizes. Mas como faremos isto? Então, vamos pegar cada vetor de B e aplicar a transformação F e G . Por exemplo, vamos calcular F e 1 . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de B , isto é:

F e 1 = α 11 e 1 + α 21 e 2 + α 31 e 3

E o que iremos descobrir é são os coeficientes α , elementos da primeira coluna da nossa matriz (primeira coluna pois utilizamos o primeiro vetor da base B ).

Passo 2

Agora, só nos resta cair em campo e fazer todas essas contas. Vamos obter inicialmente a matriz do operador F . Começando pelo vetor e 1 , temos:

F e 1 = e 1 - e 2 = α 11 e 1 + α 21 e 2 + α 31 e 3

Comparando coordenada a coordenada, temos a seguinte solução: α 11 = 1 , α 21 = - 1 e α 31 = 0 .

Repetindo o procedimento para o segundo vetor de B , temos:

F e 2 = e 1 + e 3 = α 12 e 1 + α 22 e 2 + α 32 e 3

Comparando coordenada a coordenada, temos a seguinte solução: α 12 = 1 , α 22 = 0 e α 32 = 1 . Por fim, para o terceiro e último vetor de B , temos:

F e 3 = e 2 = α 13 e 1 + α 23 e 2 + α 33 e 3

E os últimos valores de α que precisamos são α 13 = α 33 = 0 e α 23 = 1 .

Agora, vamos obter a matriz do operador F . Como a base B tem 3 vetores, teremos uma matriz com 3 colunas e 3 linhas. Desta forma, a nossa matriz será:

F = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33

Substituindo os valores de cada um dos α , temos:

F = 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0

Passo 3

Agora nós devemos repetir todo o procedimento do Passo 2, só que para o operador G .Então, começando pelo vetor e 1 , temos:

G e 1 = 2 e 1 + e 3 = α 11 e 1 + α 21 e 2 + α 31 e 3

Comparando coordenada a coordenada, temos a seguinte solução: α 11 = 2 , α 21 = 0 e α 31 = 1 .

Repetindo o procedimento para o segundo vetor de B , temos:

G e 2 = e 1 = α 12 e 1 + α 22 e 2 + α 32 e 3

Comparando coordenada a coordenada, temos a seguinte solução: α 12 = 1 e α 22 = α 32 = 0 . Por fim, para o terceiro e último vetor de B , temos:

G e 3 = e 2 - 3 e 1 = α 13 e 1 + α 23 e 2 + α 33 e 3

E os últimos valores de α que precisamos são α 13 = - 3 , α 23 = 1 e α 33 = 0 .

Agora, vamos obter a matriz do operador G . Como a base B tem 3 vetores, teremos uma matriz com 3 colunas e 3 linhas. Desta forma, a nossa matriz será:

G = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33

Substituindo os valores de cada um dos α , temos:

G = 2 1 - 3 0 0 1 1 0 0

Passo 4

Após obtermos as matrizes das transformações F e G , basta fazermos operações de somas e multiplicações para obtermos as matrizes dos outros operadores.

Começando por F + G , temos:

F + G = 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 + 2 1 - 3 0 0 1 1 0 0 = 3 2 - 3 - 1 0 2 1 1 0

Uma simples soma de matrizes, né? Agora, para 2 F - G , temos:

F + G = 2 ⋅ 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 - 2 1 - 3 0 0 1 1 0 0

F + G = 2 2 0 - 2 0 2 0 2 0 - 2 1 - 3 0 0 1 1 0 0 = 0 1 3 - 2 0 1 - 1 2 0

E para F ∘ G e G ∘ F ? Para resolvermos, vamos interpretar essa relação de composição de transformações como multiplicação de matrizes. Portanto,

F ∘ G = 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 ⋅ 2 1 - 3 0 0 1 1 0 0 = 2 1 - 3 - 2 - 1 3 0 0 1

G ∘ F = 2 1 - 3 0 0 1 1 0 0 ⋅ 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 = 1 - 1 1 0 1 0 1 1 0

E F 2 + G 2 ? Mesmo procedimento que fizemos para a composição. Então, vamos ter que multiplicar mais matrizes! Logo,

F 2 + G 2 = 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 ⋅ 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 + 2 1 - 3 0 0 1 1 0 0 ⋅ 2 1 - 3 0 0 1 1 0 0

F 2 + G 2 = 0 1 1 - 1 - 1 0 - 1 0 1 + 1 2 - 5 1 0 0 2 1 - 3 = 1 3 - 4 0 - 1 0 1 1 - 2

Passo 5

Para finalizarmos a questão, vamos tentar determinar as matrizes inversas F - 1 e F ∘ G - 1 .

Começaremos trabalhando com a matriz expandida de F e utilizar as operações de linhas e colunas para tentar transformar F | I em I | F . Então,

1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Somando a segunda linha com a primeira e depois subtraindo a primeira linha da terceira, temos:

1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 - 1 1 1 0 0 0 1

Subtraindo a terceira linha da segunda, temos:

1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 1 0 - 1 1 1 0 - 1 - 1 1

Agora, vamos somar a segunda linha com a terceira, e depois multiplicar a terceira linha por -1. Então,

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 - 1 0 0 1 1 1 - 1

Então, como obtemos   I F - 1 , significa que F - 1 existe e é dado por:

F - 1 = 1 0 - 1 0 0 1 1 1 - 1

Por fim, vamos repetir o procedimento para F ∘ G , então,

2 1 - 3 - 2 - 1 3 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Somando a segunda linha com a terceira, temos:

2 1 - 3 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

Nem precisamos continuar mais. Como na primeira matriz aparece uma linha nula, significa dizer que F ∘ G não possui uma inversa. Outra forma de ter visto isso seria verificar que F ∘ G possui duas linhas iguais. Consequentemente, o seu determinante é 0, o que implica na matriz não possuir inversa.

E finalmente, finalizamos esta questão.

Resposta

F = 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0

G = 2 1 - 3 0 0 1 1 0 0

F + G = 3 2 - 3 - 1 0 2 1 1 0

2 F - G = 0 1 3 - 2 0 1 - 1 2 0

F ∘ G = 2 1 - 3 - 2 - 1 3 0 0 1

G ∘ F = 1 - 1 1 0 1 0 1 1 0

F 2 + G 2 = 1 3 - 4 0 - 1 0 1 1 - 2

F - 1 = 1 0 - 1 0 0 1 1 1 - 1

F ∘ G - 1   n ã o   e x i s t e

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Seja F ∈ L P 2 R , R , definida por F p t = ∫ - 1 1 p t d t . Determinar a matriz de F em relação às bases: B = 1 , t , t 2 e C = 1 ; B = 1,1 + t , - 1 + t 2 e C = - 2 ;
Seja F o operador linear do R 2 cuja matriz em relação à base B = 1,0 , 1,4 é F B = 1 1 5 1 Determinar a matriz de F em relação à base canônica, usando a fórmula de mudança de base para um operador.
Calcular o traço da matriz do operador linear F ∈ L R 3 dado por F x , y , z = x , x - y , x + z . Generalizar para F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z .
Seja F ∈ L R 3 , R 2 definida por F x , y , z = x + z , y - 2 z . Determinar F B , C sendo B = 1,2 , 1 , 0,1 , 1 , 0,3 , - 1 e C = 1,5 , 2 , - 1 .
Se a matriz de um operador linear F do R 3 em relação à base canônica é 1 1 0 0 1 0 0 1 - 1 E se H = I + F + F 2 , determine a matriz de H em relação à base canônica do R 3 . Ache também H x , y , z .