Enunciado

Seja F in L (R^3 , R^2) definida por F (x , y , z) = (x + z , y - 2 z) . Determinar (F)_B , C sendo B = {(1,2 , 1) , (0,1 , 1) , (0,3 , - 1)} e C = {(1,5) , (2 , - 1)} .

Passo 1

Temos um problema bem direto. Precisamos determinar a matriz de transformação (F)_B , C , saindo da base B para a base C .

O procedimento é bem repetitivo. O que pode acontecer é ele ser trabalhoso, a depender das bases que estamos trabalhando.

Mas o que temos que fazer? Simples, vamos pegar cada vetor de B e aplicar a transformação F . Por exemplo, vamos calcular F (1,2 , 1) . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de C , isto é:

F (1,2 , 1) = alpha_11 (1,5) + alpha_21 (2 , - 1)

E o que iremos descobrir é o alpha_11 e alpha_21 , elementos da primeira coluna da nossa matriz (primeira coluna pois utilizamos o primeiro vetor da base B ).

Passo 2

Agora, só nos resta cair em campo e fazer todas essas contas. Começando pelo vetor (1,2 , 1) , temos:

F (1,2 , 1) = (2,0) = alpha_11 (1,5) + alpha_21 (2 , - 1)

{[[alpha_11 + 2 alpha_21 = 2],[5 alpha_11 - alpha_21 = 0]])

Resolvendo o sistema acima, vamos obter alpha_11 = 2 // 11 e alpha_21 = 10 // 11 . Assim, obtemos os primeiros elementos da nossa matriz. Vamos repetir agora para o segundo vetor da base B , (0,1 , 1) . Então:

F (0,1 , 1) = (1 , - 1) = alpha_12 (1,5) + alpha_22 (2 , - 1)

{[[alpha_12 + 2 alpha_22 = 1],[5 alpha_12 - alpha_22 = - 1]])

Percebam que estamos obtendo os coeficientes da segunda coluna. Resolvendo o sistema acima, obtemos: alpha_12 = - 1 // 11 e alpha_22 = 6 // 11 . Repetindo o mesmo procedimento para o vetor (0,3 , - 1) , temos:

F (0,3 , - 1) = (- 1,5) = alpha_13 (1,5) + alpha_23 (2 , - 1)

{[[alpha_13 + 2 alpha_23 = - 1],[5 alpha_13 - alpha_23 = 5]])

Cuja solução é alpha_13 = 9 // 11 e alpha_23 = - 10 // 11 .

Passo 3

Por fim, basta montarmos a nossa matriz (F)_B , C . Como a base B tem 3 vetores, teremos uma matriz com 3 colunas. Já como a base C tem dois vetores, teremos uma matriz com 2 linhas.

Desta forma, a nossa matriz será:

(F)_B , C = ([[alpha_11,alpha_12,alpha_13],[alpha_21,alpha_22,alpha_23]])

Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:

(F)_B , C = ([[(2)/(11),-,(1)/(11),(9)/(11)],[(10)/(11),(6)/(11),-,(10)/(11)]])

E esta é a nossa solução da questão!

Resposta

(F)_B , C = ([[(2)/(11),-,(1)/(11),(9)/(11)],[(10)/(11),(6)/(11),-,(10)/(11)]])

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