Enunciado

Calcular o traço da matriz do operador linear F ∈ L R 3 dado por F x , y , z = x , x - y , x + z . Generalizar para F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z .

Passo 1

Então, precisamos calcular o traço da matriz F B , sendo B = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 a base canônica do R 3 e F x , y , z = x , x - y , x + z .

Depois, a questão pede para generalizarmos a função F , para F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z .

Bom, sejamos espertos então. Percebam que a função F x , y , z = x , x - y , x + z é um caso particular de F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z .

Então, vamos resolver o caso geral, e depois iremos calcular o caso específico. Fica muito mais fácil assim!

Mas então, como vamos calcular o traço da matriz F B . Para isto, precisamos obter a matriz F B . Somente após isto é que vamos conseguir fazer a soma dos termos da diagonal principal, e assim obter o traço.

Certo, e como faremos isto? Simples, vamos pegar cada vetor de B e aplicar a transformação F . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de B , isto é, por exemplo:

F 1,0 , 0 = α 11 1,0 , 0 + α 21 0,1 , 0 + α 31 0,0 , 1

E o que iremos descobrir são os coeficientes α , os quais serão os elementos da primeira coluna da nossa matriz (primeira coluna pois utilizamos o primeiro vetor da base B ).

Passo 2

Agora, só nos resta cair em campo e fazer todas essas contas. Lembrando, vamos trabalhar com o operador F generalizado! Sendo assim, temos:

F 1,0 , 0 = a , d , g = α 11 1,0 , 0 + α 21 0,1 , 0 + α 31 0,0 , 1

F 1,0 , 0 = a , d , g = α 11 , α 2 1 , α 3 1

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 11 = a α 21 = d α 31 = g

Agora, nosso trabalho é ficar repetindo o procedimento para os outros vetores da base canônica. Sendo assim, temos:

F 0 , 1 , 0 = b , e , h = α 1 2 1,0 , 0 + α 2 2 0,1 , 0 + α 3 2 0,0 , 1

F 0,1 , 0 = b , e , h = α 1 2 , α 2 2 , α 3 2

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 12 = b α 22 = e α 32 = h

Por fim, para o terceiro vetor,

F 0 , 0 , 1 = c , f , i = α 1 3 1,0 , 0 + α 2 3 0,1 , 0 + α 3 3 0,0 , 1

F 0,0 , 1 = c , f , i = α 1 3 , α 2 3 , α 3 3

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 1 3 = c α 2 3 = f α 3 3 = i

Passo 3

Agora, vamos montar a nossa matriz F B . Como a base B tem 3 vetores, teremos uma matriz com 3 colunas e 3 linhas.

Desta forma, a nossa matriz será:

F B = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33

Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:

F B = a b c d e f g h i

Por fim, ao somarmos os elementos da diagonal principal, temos:

t r a ç o = a + e + i

E esta é a solução para o caso generalizado!

Passo 4

Agora, vamos escrever o traço para o nosso caso particular, F x , y , z = x , x - y , x + z .

Se vocês compararem com o caso generalizado, vão obter a = 1 , e = 1 e i = 1 . Destacamos apenas estas variáveis pois elas são as únicas que afetam no cálculo do traço da matriz F B .

Então, o traço para o caso particular será:

t r a ç o = 1 + 1 + 1 = 3

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

Para o operador F x , y , z = x , x - y , x + z , traço é igual a 3. Já para o operador F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z , o traço é a + e + i .

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Em cada parte, seja T : R 2 → R 2 a multiplicação por A . Determine se T tem uma inversa; se tiver, encontre. T - 1 x 1 x 2 A = 5 2 2 1 A = 6 - 3 4 - 2 A = 4 7 - 1 3
Sejam T 1 : M 22 → R e T 2 : M 22 → M 22 as transformações lineares dadas por T 1 A = t r ( A ) e T 2 A = A T .Encontre T 1 ∘ T 2 A com A = a b c d .Você consegue encontrar T 2 ∘ T 1 A ? Explique.
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Suponha que as transformações lineares T 1 : P 2 → P 2 e T 2 : P 2 → P 3 sejam dadas pelas fórmulas T 1 p x = p ( x + 1 ) e T 2 p x = x p x . Encontre ( T 2 ∘ T 1 ) ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) .