Enunciado

Seja { U 1 ,   . . .   , U n } uma base ortonormal de R n . Se A = [ U 1   . . .   U n ] é uma matriz n × n cujas colunas são os vetores U 1 ,   . . .   ,   U n , então A é invertível e A - 1 = A t . (Sugestão: mostre que A t A = I n .)

Passo 1

Eaew, belezinha?

Para resolver esta questão é interessante lembrar que uma matriz invertível é aquela que tem solução para o sistema de equações dado por A - 1 A = I n . Onde I n é a matriz identidade em n dimensões! A matriz identidade é uma matriz em que toda a diagonal é composta por elementos de valor 1, e todos os outros elementos são 0, beleza?

Neste exercício também vai ser conveniente lembrar que:

X ⋅ Y = X t Y

Em que X e Y representam vetores escritos como matriz coluna! Vamos partir disso, e ver o que saí!

Passo 2

Se tentarmos usar a sugestão do enunciado, temos que:

A t A = I n → ?

Se A é uma matriz cujas colunas são os vetores U , então, a sua transposta, A t , é a matriz cujas linhas são os vetores U t . Se recordar da teoria de produto matricial, você precisa fazer o produto da primeira linha com a primeira coluna (elemento a elemento, primeiro com primeiro, segundo com segundo), somar todos os termos e isso te dá o elemento 1 × 1 da sua matriz. Analogamente, se fizer a primeira linha vezes a segunda coluna, você vai obter o elemento 1 × 2 da matriz. Assim por diante até ter toda a matriz n × n . Mas e daí? Saca só!

Passo 3

O interessante disso, é que o produto de uma linha por uma coluna, em nosso caso é justamente:

U i t U j

Isso é o produto interno do vetor U com si próprio! E como o enunciado nos indica, U representa uma base ortonormal, portanto, temos que:

U i t U i = 1   e   U t i U j = 0

Devido a ortogonalidade dos vetores e sua normalização! Sendo assim, a diagonal de nossa matriz resultante será composta por 1, e os outros termos serão 0, ou seja:

A t A = I n

O que indica que A t = A - 1 e que existe uma solução para a inversa e portanto essa matriz é invertível! A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos.

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