Enunciado

Encontre uma base ortonormal para o plano x + y + z = 0 .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:

X * Y = sum_(i = 1)^3 x_i y_i = 0 ( 1 )

E também é necessário que | | X | | = 1 e | | Y | | = 1 , para que eles sejam normalizados. A definição de norma é dada por:

| | X | | = sqrt(sum_(i = 1)^3 x_i^2) ( 2 )

Ou seja, nossos vetores de base devem obedecer às condições dadas acima, bora lá!

Passo 2

Nós temos 3 parâmetros livres e apenas uma equação, portanto, vamos escolher parâmetros quaisquer como y = alpha e z = beta . E escrever o seguinte:

x + alpha + beta = 0 -> x = - alpha - beta

E portanto, temos a seguinte relação:

( - alpha - beta , alpha , beta )

Esta expansão pode ser expandida em termos dos parâmetros da seguinte maneira:

( - alpha - beta , alpha , beta ) = alpha ( - 1,1 , 0 ) + beta ( - 1,0 , 1 )

De forma que nossa base pode ser identificada como V_1 = ( - 1,1 , 0 ) e V_2 = ( - 1,0 , 1 ) . Agora precisamos garantir que ela é ortogonal e ambos os vetores estão normalizados! Bora lá!

Passo 3

Vamos primeiro checar se ambos se eles são ortogonais pela definição (1), temos que:

( - 1 ) xx ( - 1 ) + 1 xx ( 0 ) + ( 0 ) xx 1 = 1 != 0

Os vetores de base não são ortogonais. E o que fazer agora? Precisamos construir uma base ortogonal, para isso vamos usar a seguinte definição:

p r o j_W V = ( (V * W)/(| | W | |^2) ) W ( 3 )

O que nos dá uma projeção ortogonal de um vetor V sobre um vetor não nulo W . Bora lá!

Passo 4

Vamos fazer a escolha W_1 = V_1 e utilizar (3) para obter:

W_2 = V_2 - p r o j_V_1 V_2 = V_2 - ( (V_2 * V_1)/(| | V_1 | |^2) ) V_1 ( 4 )

Já calculamos V_2 * V_1 = 1 . Usando a definição (2), temos que:

| | V_1 | | = sqrt(( - 1 )^2 + ( 1 )^2 + 0^2) = sqrt(2)^()

Portanto, temos então que:

W_2 = ( - 1,0 , 1 ) - (1)/(2) ( - 1,1 , 0 ) = (1)/(2) ( - 1 , - 1,1 ) ( 5 )

Temos então que W_1 = V_1 e W_2 = ( - 1 // 2 , - 1 // 2,1 ) são bases ortogonais, agora precisamos normalizá-las, saca só!

Passo 5

Um vetor normalizado pode ser obtido fazendo:

V_N = (V)/(| | V | |) ( 6 )

Portanto, usando | | V_1 | | = sqrt(2) como calculamos no passo anterior, temos da definição (6) e de V_1 que:

W_1 N = (1)/(sqrt(2)) ( - 1,1 , 0 )

Utilizando (2) para calcular a normal de W_2 , temos:

| | W_2 | | = sqrt(( - (1)/(2) )^2 + ( - (1)/(2) )^2 + ( 1 )^2) = sqrt(3 // 2)

e portanto, temos:

W_2 N = (sqrt(2))/(sqrt(3)) ( - 1 // 2 , - 1 // 2,1 ) = (sqrt(6))/(3) ( - 1 // 2 , - 1 // 2,1 )

Aí está nossa base ortonormal, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

W_1 = (1)/(sqrt(2)) ( - 1,1 , 0 ) e W_2 = (sqrt(6))/(3) ( - 1 // 2 , - 1 // 2,1 )

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