Enunciado

Seja A = 1,4 , 0 e B = 0,1 , - 2 . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em r e outra em π . Descreva o lugar geométrico

(b) π : x + y + z = 0 r : X = 0,0 , 0 + λ 1 ,   1 ,   1

Passo 1

(b) Vamos começar analisando cada equação. O segredo dessa questão é descobrir qual é a posição relativa da reta e do plano.

Olhando para a equação vetorial da reta:

X = 0,0 , 0 + λ 1 ,   1 ,   1

Dá pra ver que o vetor diretor é:

r → = 1,1 , 1

E olhando para a equação geral do plano:

x + y + z = 0

Lembre que quando a equação geral do plano tem essa forma:

a x + b y + c z + d = 0

O vetor formado por a , b , c é o vetor normal ao plano. Então, olhando para a equação de cima, o vetor n ^ normal a π é:

n ^ = 1,1 , 1

Ou seja, o vetor normal ao plano é igual ao vetor diretor da reta.

Passo 2

Quando temos essa situação, isso quer dizer que a reta é normal ao plano. Vamos ver como fica isso no desenho:

Ok, agora vamos ver como fica a álgebra da situação. Um ponto P 1 qualquer na reta r é:

P 1 = 0,0 , 0 + λ 1 ,   1 ,   1

E para escrever um ponto P 2 qualquer no plano π , precisamos da equação paramétrica do plano:

x + y + z = 0         ⇒           x = x ' y = y ' z = - x ' - y '

Então o ponto é:

P 2 = x ' 1,0 , - 1 + y ' 0,1 , - 1

Passo 3

Isso quer dizer que os segmentos entre a reta e o plano têm esse vetor diretor aqui:

P 1 P 2 → = P 2 - P 1

P 1 P 2 → = x ' 1,0 , - 1 + y ' 0,1 , - 1 - λ 1,1 , 1

Qual é a condição para esses segmentos serem paralelos ao segmento A B - ?

A B → = B - A = 0,1 , - 2 - 1,4 , 0

A B → = - 1 , - 3 , - 2

E para que sejam paralelos:

α A B → = P 1 P 2 →

α - 1 , - 3 , - 2 = x ' 1,0 , - 1 + y ' 0,1 , - 1 - λ 1,1 , 1

Isso dá um sistema de três equações:

- α = x ' - λ - 3 α = y ' - λ - 2 α = - x ' - y ' - λ

É um sistema de três equações e quatro incógnitas, então vai sobrar um grau de liberdade.

Vamos tentar escrever tudo em função de α . Vamos subtrair a segunda equação da primeira:

- α - - 3 α = x ' - λ - y ' - λ

2 α = x ' - y '

x ' = y ' + 2 α

E pela segunda equação:

λ = y ' + 3 α

Substituindo isso na última equação:

- 2 α = - x ' - y ' - λ

- 2 α = - y ' + 2 α - y ' - y ' + 3 α

- 2 α = - y ' - 2 α - y ' - y ' - 3 α

0 = - 3 y ' - 3 α

y ' = - α

Substituindo isso no resultado de antes:

x ' = y ' + 2 α

x ' = - α + 2 α = α

E para λ :

λ = y ' + 3 α

λ = - α + 3 α = 2 α

Então nossa solução é:

x ' = α y ' = - α λ = 2 α

Passo 4

Agora vamos voltar nas equações dos pontos:

P 1 = λ 1 ,   1 ,   1

P 2 = x ' 1,0 , - 1 + y ' 0,1 , - 1

Os pontos que formam segmentos que são paralelos a A B → são os que atendem à nossa solução:

x ' = α y ' = - α λ = 2 α

Então:

P 1 = 2 α 1,1 , 1 = α 2,2 , 2

P 2 = α 1,0 , - 1 - α 0,1 , - 1 = α 1 , - 1,0

E então os pontos médios entre os dois pontos:

P M = 1 2 P 2 + P 1

P M = 1 2 α 1 , - 1,0 + 2,2 , 2

P M = 1 2 α 3,1 , 2

Ou seja, essa reta contém os pontos médios dos segmentos entre a reta e o plano que são paralelos a A B → .

Vamos chamar essa reta de s :

s :         0,0 , 0 + α 3,1 , 2

Passo 5

Vamos demonstrar isso em um desenho:

O desenho é um pouco confuso, mas vamos explicar.

Aquele vetor verde é o vetor diretor da reta que a gente encontrou na resposta.

O vetor vermelho é o “segmento” que liga a reta ao plano, e é paralelo ao vetor A B → preto que está ali atrás.

Resposta

O lugar geométrico formado pelos pontos médios é 0,0 , 0 + α 3,1 , 2 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os pontos de interseção da reta r : y = 2 x - 3 z = - x + 2 Com os planos coordenados.
Nos problemas 49 e 51, determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π nos seguintes casos: r : x = 1 + t y = 2 t z = 5 e π : x = 3
Calcular os valores de m e n para que a reta r : y = 2 x - 3 z = - x + 4 Esteja contida no plano π : n x + m y - z - 2 = 0
Nos problemas 49 e 51, determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π nos seguintes casos: r : x = t y = 1 - 2 t z = - te π : 2 x + y - z - 4 = 0
Determinar os pontos de interseção do plano: π : 2 x + 4 y - z - 4 = 0 Com os eixos coordenados e, também, a reta interseção deste plano com o plano x O y .