Enunciado

Sejam A = 1,0 , 0 , B = 0,2 , 0 , C = 0,0 , 3 e O = 0,0 , 0 . Obtenha uma equação geral do plano paralelo ao plano A B C que intercepta as retas O A , O B e O C em pontos que são vértices de um triângulo de área 7 / 8 .

Passo 1

O primeiro passo aqui é encontrar a equação do plano que passa por A , B e C .

Lembra como faz para encontrar a equação de um plano dado três pontos que estão nele?

Temos que imaginar um ponto qualquer:

P = x , y , z

E supor que, se esse ponto está no plano com A , B e C , então:

A P → ∙ A B → × A C → = 0

(Poderia fazer de outras formas também! O importante é escrever o produto misto).

Ou seja, o produto misto desses três vetores tem que ser zero, porque isso mostra que eles são coplanares.

Vamos escrever as coordenadas desses três vetores:

A P → = P - A = x , y , z - 1,0 , 0 = x - 1   ,   y   ,   z

A B → = B - A = 0,20 - 1,0 , 0 = - 1,2 , 0

A C → = C - A = 0,0 , 3 - 1,0 , 0 = - 1,0 , 3

Passo 2

E então podemos usar um determinante para calcular esse produto misto:

A P → ∙ A B → × A C → = 0

x - 1 y z - 1 2 0 - 1 0 3 = 0

Calculando esse determinante:

x - 1 2 3 + y 0 - 1 + - 1 0 z - z 2 - 1 + 0 0 x - 1 + y - 1 3

Tirando os termos que se anulam:

6 x - 1 + 2 z + 3 y = 0

6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0

Essa é a equação geral do plano que contém os pontos.

Passo 3

Como a gente encontra os planos paralelos a esse? É só ajustar por uma constante!

Então qualquer ponto que tenha essa forma aqui:

6 x + 3 y + 2 z - 6 + d = 0

Para algum d , é paralelo ao nosso plano. Inclusive podemos juntar d - 6 em uma constante só:

d - 6 → d

6 x + 3 y + 2 z + d = 0

Então esses são os planos paralelos com que vamos trabalhar.

Passo 4

Outra coisa que o enunciado quer é formar um triângulo de área 7 / 8 com os pontos em que esse plano intercepta essas retas aqui:

O A :         a   O A → = a   1,0 , 0

O B :         b   O B → = b   0,2 , 0

O C :         c   O C → = c   0 , 0,3

Onde a , b e c são parâmetros livres.

Quais pontos da reta O A interceptam o nosso plano? Bom, vamos substituir na forma geral:

6 x + 3 y + 2 z + d = 0

6 a + 3 0 + 2 0 + d = 0

a = - d 6

E na reta O B :

6 0 + 3 2 b + 2 0 + d = 0

b = - d 6

E na reta O C :

6 0 + 3 0 + 2 3 c + d = 0

c = - d 6

Então tá, os pontos em que o plano cruza essas retas são:

A = - d 6 1,0 , 0 = - d 6 , 0,0

B = - d 6 0,2 , 0   = 0 ,   - d 3 , 0

C = - d 6 0,0 , 3 = 0,0 , - d 2

Beleza, agora temos que lembrar da última condição.

Passo 5

O enunciado pediu o plano que passe por esses três pontos para formar um triângulo de área 7 / 8

Como se calcula a área de um triângulo formado por três pontos A , B e C ? A fórmula é essa aqui:

Á r e a = 1 2 A B → × A C →

Então vamos logo fazer essa conta para três pontos quaisquer nas retas O A , O B e O C :

A B → = 0 ,   - d 3 , 0 - - d 6 , 0,0 = d 6 ,   - d 3 , 0

A C → = 0,0 , - d 2 - - d 6 , 0,0 = d 6 , 0 ,   - d 2

Então o produto vetorial é:

A B → × A C → = x ^ y ^ z ^ d / 6 - d / 3 0 d / 6 0 - d / 2 =   d 2 / 6   ,     d 2 / 12   ,     d 2 / 18

E a norma desse produto vetorial é:

A B → × A C → = d 2 6 2 + d 2 12 2 + d 2 18 2

Voltando na equação de cima, queremos que a área seja 7 / 8 , então:

1 2 A B → × A C → = 7 8

1 2 d 2 6 2 + d 2 12 2 + d 2 18 2 = 7 8

Multiplicando os dois lados por dois:

d 2 6 2 + d 2 12 2 + d 2 18 2 = 7 4

E colocando d 4 / 6 em evidência dentro da raiz:

d 4 6 2 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 = 7 4

d 4 6 2 49 36 = 7 4

Tirando a raiz do lado esquerdo:

d 2 6 7 6 = 7 4

d 2 = 36 4

d 2 = 9

d = ± 3

Então temos duas soluções possíveis para o nosso plano:

d = + 3         ⇒           6 x + 3 y + 2 z + 3 = 0

d = - 3         ⇒           6 x + 3 y + 2 z - 3 = 0

Pronto!

Resposta

As duas soluções possíveis são 6 x + 3 y + 2 z + 3 = 0 e 6 x + 3 y + 2 z - 3 = 0 .

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O plano π : x + y - z - 2 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A , B e C . Calcular a área do triângulo A B C .
Estabelecer as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A 3,6 , 4 , intercepta o eixo O z e é paralela ao plano. π : x - 3 y + 5 z - 6 = 0
Sejam a reta r e o plano π dado por r : y = 2 x - 3 z = - x + 2 e π : 2 x + 4 y - z - 4 = 0 Determinar:Equações da reta interseção de π com o plano x O y .
Verificar se a reta r está contida no plano π : r : y = 2 h + 1 z = 2 x - 1 e π : 2 x + y - 3 z - 4 = 0
Verificar se a reta r está contida no plano π : r : x - 2 = y + 2 2 = z + 3 e π : x = h + t y = - 1 + 2 h - 3 t z = - 3 + h - t