Enunciado

Seja R ∞ = x 1 ,   x 2 , …     x i ∈ R } . Considerando sobre R ∞ as operações dadas por x 1 ,   x 2 , … + y 1 ,   y 2 , … =   x 1 + y 1 ,   x 2 + y 2 , … e λ x 1 ,   x 2 , … = λ x 1 ,   λ x 2 , … , mostrar que R ∞ é um espaço vetorial sobre R .

Passo 1

Para mostrar que R ∞ é um espaço vetorial sobre R será bem parecido com o que fizemos para R 2 com essas mesmas operações. Faremos então a verificação dos axiomas relativos à adição e a multiplicação, beleza?!

Primeiro faremos a verificação dos axiomas da adição.

I - a: u + v = v + u

x 1 , y 1 , … +   x 2 , y 2 , … =   x 1 + x 2 , y 1 + y 2   , … = x 2 + x 1 , y 2 + y 1 , … = x 2 , y 2 , … +   x 1 , y 1 , …  

I - b: u + v + w = u + v + w

x 1 , y 1 , … + x 2 , y 2 , … + x 3 , y 3 , … = x 1 , y 1 , … + x 2 + x 3 , y 2 + y 3 , …   = x 1 + x 2 + x 3 + … , y 1 + y 2 + y 3 + … = [ x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , … + x 3 , y 3 , … = [ x 1 , y 1 , … + x 2 , y 2 , … ] + x 3 , y 3 , …

I - c: O vetor nulo é ( 0,0 , 0 )

x 1 , y 1 , … +   0,0 , … = x 1 , y 1 , …

Passo 2

Agora faremos a verificação dos axiomas da multiplicação, beleza?

II – a:

a b x 1 , y 1 , … = a b x 1 , a b y 1 , … = a b x 1 , a b y 1 , … = a b x 1 , b y 1 = a ( b x 1 , y 1 , … )  

II – b:

a + b x 1 , y 1 , … = a + b x 1 , a + b y 1 , … = a x 1 + b x 1 , a y 1 + b y 1 , … = a x 1 ,   a y 1 , … + b x 1 ,   b y 1 , … = a x 1 , y 1 , … + b x 1 , y 1 , …

II – C:

a x 1 , y 1 , … + x 2 , y 2 , … = a x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 , …   = a x 1 + x 2 , a y 1 + y 2 , … = a x 1 + a x 2 ,   a y 1 + a y 2 , … = a x 1 , a y 1 + a x 2 , a y 2 + … = a x 1 , y 1 , … + a x 2 , y 2 , …

II – D: 1 x , y , … = 1 x , 1 y , … = ( x , y , … )

Como todos os axiomas foram verificados, R ∞ é um espaço vetorial sobre R .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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