Enunciado

Seja F ∈ L P 2 R , R , definida por F p t = ∫ - 1 1 p t d t . Determinar a matriz de F em relação às bases:

  1. B = 1 , t , t 2 e C = 1 ;
  2. B = 1,1 + t , - 1 + t 2 e C = - 2 ;

Passo 1

Vamos lá a mais uma questão! Agora, temos que determinar as matrizes de transformação F B , C e G B , C . Não se assustem por causa dos nossos espaços vetoriais. O procedimento para polinômios é exatamente o mesmo que para matrizes ou R n .

E se o procedimento é o mesmo, o que precisamos fazer então? Vejam só, vamos começar a análise para a matriz da transformação F . A ideia é vocês pegarem cada vetor da base B , aplicar a transformação F e depois escrever como combinação linear do vetor de C . Isto é:

F 1 = α 11 1

Com isto teremos um sistema e nosso trabalho é descobrir os valores de cada um destes coeficientes α . Como utilizamos o primeiro vetor de B , teremos a primeira coluna da matriz F B , C . E assim por diante

Passo 2

Vamos agora para o trabalho braçal! Fazer várias contas! Começaremos pela determinação da matriz F B , C e utilizaremos o procedimento descrito no Passo 1. Então, para o primeiro vetor de B , p t = 1 , temos:

F 1 = ∫ - 1 1 1   d t = t - 1 1 = 1 - - 1 = 2

F 1 = 2 = α 11 1

Então, obtemos α 11 = 2 . Agora, precisamos resolver para os outros vetores de B . Para o segundo vetor de B , o qual é p t = t , temos

F t = ∫ - 1 1 t   d t = t 2 2 - 1 1 = 1 2 - 1 2 = 0

F t = 0 = α 12 1

E assim obtemos α 12 = 0 . Para o último vetor de B , p t = t 2 , temos:

F t 2 = ∫ - 1 1 t 2   d t = t 3 3 - 1 1 = 1 3 - - 1 3 = 2 3

F t = 2 3 = α 13 1

E o último valor que buscamos é α 13 = 2 / 3 .

Passo 3

Por fim, basta montarmos a nossa matriz F B , C . Como a base B tem 3 vetores, teremos uma matriz com 3 colunas. Já como a base C tem um vetor, teremos uma matriz com 1 linha.

Desta forma, a nossa matriz será:

F B , C = α 11 α 12 α 13

Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:

F B , C = 2 0 2 3

E esta é a nossa solução da questão!

Resposta

F B , C = 2 0 2 3

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Mostre que se T : R 2 → R 2 é uma transformação linear invertível, então T é uma composição¸ de expansões, compressões, cisalhamentos e reflexões.
Mostre que se P : V → V é um operador linear tal que P 2 = P (operador idempotente), então P e uma projeção.
Seja A uma matriz triangular superior nxn com todos os elementos da diagonal iguais a zero. Mostre que A n = 0 .
Um operador T : V → V é chamado nilpotente se T n = 0 , a transformação linear nula, para algum n ∈ N . Seja T um operador nilpotente. Mostre que existe um vetor V ≠ 0 tal que T V = 0 - .