Enunciado

Seja P : V → V um operador idempotente ( P 2 = P ) de um espaço de dimensão finita. Mostre que

a) Existe uma base B tal que a matriz de P em relação a B , A = a i j n x n , é tal que a 11 = … = a r r = 1   e os demais a i j = 0 , onde r = p o s t o ( P ) .

(b) O traço de P é igual ao seu posto.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja P : V → V um operador idempotente ( P 2 = P ) de um espaço de dimensão finita. Mostre que

a) Existe uma base B tal que a matriz de P em relação a B , A = a i j n x n , é tal que a 11 = … = a r r = 1   e os demais a i j = 0 , onde r = p o s t o ( P ) .

(b) O traço de P é igual ao seu posto.

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para base B a matriz P em relação a A = a i j n   x   n , temos

A = α 0 0 0 α 0 0 0 α → A 2 = A

Na letra (b) para o traço de P temos

P = P - 1 ≠ 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) A 2 = A

b) P - 1 ≠ 0  

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Em cada caso, encontre (T_2 @ T_1) (x , y) . T_1 (x , y) = (2 x , 3 y) , T_2 (x , y) = (x - y , x + y) T_1 (x , y) = (x - 3 y , 0) , T_2 (x , y) = ( 4 x - 5 y , 3 x - 6 y ) T_1 (x , y) = (2 x , - 3 y
Em cada caso, encontre (T_2 @ T_1) (x , y) . T_1 (x , y) = (- 2 y , 3 x , x - 2 y) , T_2 (x , y , z) = (y , z , x) , T_3 (x , y , z) = ( x + z , y - z ) T_1 (x , y) = (x + y , y , - x) , T_2 (x , y ,
Seja T um operador linear de um espaço vetorial V de dimensão 2 . Se a matriz de T em relação a uma certa base B de V é a b c d Mostrar que T 2 - a + d T + a d - b c I = 0 (operador nulo)
Determinar todos os operadores lineares F do R 2 tais que F 2 = F (operador nulo) e que F x , y = a x , b x + c y .