Enunciado

Seja T : V → W uma função. Mostre que:

  1. Se T é uma transformação linear, então T 0 = 0
  2. Se T 0 ≠ 0 , então T não é uma transformação linear.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos resolver essa questão que trata de demonstrar porque para um transformação ser considerada linear é necessário que o vetor nulo, continue sendo nulo, após a transformação.

Passo 2

Item a):

Vamos ter que testar para essa primeira transformação linear duas condições, e assim garantir que ela realmente é linear:

i )   T u + v = T u + T v

i i )   T k v = k T ( v )

Vamos aplicar ao item a).

Vamos assumir dois vetores, u   e   v e no caso podemos assumir que u = v = 0 , então temos:

T u + v = T 0 + 0

T u + T ( v ) = T 0 + T 0

Juntando o as duas equações:

T 0 + 0 = T 0 + T ( 0 )

T 0 = 0 + 0

T 0 = 0

Então nossa transformação realmente é linear para soma.

Temos também que:

T k 0 = k T ( 0 )

T 0 = k T 0

T 0 = k ⋅ 0

T 0 = 0

Então nossa transformação também é linear para o produto por escalar.

Passo 3

Item b):

Se  T 0 ≠ 0 , os itens  i )   e   i i )  não serão atendidos.

Na seção 3 desse capítulo vimos a definição de núcleo (5.3.4) e o teorema 5.3.9, que mostram primeiro que o núcleo de uma transformação linear, é o conjunto de vetores que após a transformação se tornam vetores nulos e no teorema vimos que a d i m   V = n u c   V + I m   V , ou seja, a dimensão de V deve ser igual ao núcleo de V   mais a Imagem de V .

A partir dessa definição e desse teorema podemos concluir duas coisas:

-o vetor nulo de V sempre vai fazer parte do núcleo de V .

-se qualquer vetor faz parte do núcleo de V , após a transformação linear ele necessariamente se torna um vetor nulo

Então quando o exercício diz que T 0 ≠ 0 , ele está falando que o vetor nulo de V ,   que está contido no núcleo de V , após a transformação não é vetor nulo, portanto podemos concluir que essa não é uma transformação linear.

Resposta

Demonstração.

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Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: f : R 2 → R 2 ( x , y ) → x + y , x - y g : R 2 → R ( x , y ) → x y h : M 2 → R a cb d → det ⁡ a cb d k : P 2 → P 3 a x 2 + b x + c → a x
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Ache a transformação linear T : R 3 → R 2 tal que T 1,0 , 0 = ( 2,0 ) , T 0,1 , 0 = 1,1 e T 0,0 , 1 = ( 0 , - 1 ) .Encontre v de R 3 tal que T v = ( 3,2 ) .