Enunciado

  1. Ache a transformação linear T : R 3 → R 2 tal que T 1,0 , 0 = ( 2,0 ) , T 0,1 , 0 = 1,1 e T 0,0 , 1 = ( 0 , - 1 ) .
  2. Encontre v de R 3 tal que T v = ( 3,2 ) .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a):

Sendo:

T : R 3 → R 2

T 1,0 , 0 = 2,0

T 0,1 , 0 = 1,1

T 0,0 , 1 = ( 0 , - 1 )

Como estamos indo de R 3 para R 2 , quer dizer que v é de R 3 , portanto, podemos expressa-lo como uma combinação linear da base canônica do R 3 :

v = x 1,0 , 0 + y 0,1 , 0 + z ( 0,01 )

Temos que:

T v = x T 1,0 , 0 + y T 0,1 , 0 + z T 0,0 , 1

T v = x 2,0 + y 1,1 + z ( 0 , - 1 )

T v = 2 x , 0 + y , y + 0 , - z

T v = 2 x + y , y - z

Passo 2

Item b):

Para o item b vamos aplicar a transformação linear que encontramos nos dados fornecidos no enunciado para encontrar v . Temos que:

T v = 2 x + y , y - z

Do enunciado T v = ( 3,2 ) . Portanto:

2 x + y , y - z = 3,2

  2 x + y = 3 y - z = 2

Seja y = 3 - 2 x , temos que:

3 - 2 x - z = 2

z = 1 - 2 x

Logo:

v = x , 3 - 2 x , 1 - 2 x

Resposta

a )   T v = 2 x + y , y - z

b ) v = x , 3 - 2 x , 1 - 2 x    

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