Enunciado

Seja A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 um hexágono de centro O.

  1. Escreva A 1 A i → , i = 2 , . . . , 6 em função de a → = A 1 A 2 → e b → = A 1 A 6 → .
  2. Mostre que ∑ i = 2 6 A 1 A i → = 6 A 1 O → .
  3. Expresse w → = A 1 A 5 → em função de u → = A 1 A 4 → e v → = A 1 A 3 →

Passo 1

  1. Antes de mais nada, vamos desenhar um hexágono regular e os vetores a → = A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , A 1 A 4 → , A 1 A 5 → , b → = A 1 A 6 → :
  2. O enunciado já nos deu a → = A 1 A 2 → e b → = A 1 A 6 → , então só precisamos obter os outros três vetores. Um hexágono regular tem os seus seis lados de tamanhos iguais e pode ser dividido em seis triângulos equiláteros que se encontram no centro O como na figura abaixo:

    Mas espera um pouco. Como todos os lados do hexágono são iguais e os triângulos são equiláteros (todos os lados iguais), então A 2 O → = A 1 A 6 → = b → . Da mesma forma, A 6 O → = A 1 A 2 → = a → e temos o seguinte paralelogramo:

    A partir dessa figura fica bem claro que

    A 1 O → = a → + b →

    Mas se você prestar bem atenção, o vetor A 1 A 4 → é exatamente o dobro do vetor A 1 O → . Então,

    A 1 A 4 → = 2 a → + 2 b →

    Outro detalhe muito importante a se notar é que A 2 A 3 → = A 6 A 5 → = A 1 O → porque eles têm o mesmo módulo, direção e sentido. Perfeito! Agora podemos encontrar os dois vetores que faltam. Olhando para a figura acima, podemos ver que

    A 1 A 3 → = A 1 A 2 → + A 2 A 3 → = A 1 A 2 → + A 1 O → = a → + a → + b → = 2 a → + b →

    A 1 A 5 → = A 1 A 6 → + A 6 A 5 → = A 1 A 6 → + A 1 O → = b → + a → + b → = a → + 2 b →

    Passo 2

  3. O item b pede que a gente mostre que ∑ i = 2 6 A 1 A i → = 6 A 1 O → . Então, temos que somar todos os vetores obtidos no passo anterior e ver que o resultado é seis vezes A 1 O → , que também foi obtido no passo anterior. Então, temos
  4. ∑ i = 2 6 A 1 A i → = A 1 A 2 → + A 1 A 3 → + A 1 A 4 → + A 1 A 5 → + A 1 A 6 → = a → + 2 a → + b → + 2 a → + 2 b → + a → + 2 b → + b →

    ∑ i = 2 6 A 1 A i → = 6 a → + 6 b → = 6 ( a → + b → ) = 6 A 1 O →

    Passo 3

  5. Agora, temos que escrever w → = A 1 A 5 → = a → + 2 b → em função de u → = A 1 A 4 → = 2 a → + 2 b → e v → = A 1 A 3 → = 2 a → + b → . Nós vamos fazer o seguinte: vamos dizer que w → = x u → + y v → então vamos comparar ambos os lados da equação para obter x e y . Assim,

w → = a → + 2 b → = x u → + y v → = x ( 2 a → + 2 b → ) + y ( 2 a → + b → ) = a → ( 2 x + 2 y ) + b → ( 2 x + y )

⇒ a → + 2 b → = a → ( 2 x + 2 y ) + b → ( 2 x + y ) ⇒ 2 x + 2 y = 1 ,   2 x + y = 2

Então temos que resolver o sistema

2 x + 2 y = 1

2 x + y = 2

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos y = - 1 . Agora, substituímos esse resultado em qualquer uma das duas equações e encontramos x = 3 2 . Logo,

w → = 3 2 u → - v →

Resposta

  1. A 1 A 2 → = a →

A 1 A 3 → = 2 a → + b →

A 1 A 4 → = 2 a → + 2 b →

A 1 A 5 → = a → + 2 b →

A 1 A 6 → = b →

c) w → = 3 2 u → - v →

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